Licence de Sciences Économiques Mathématiques L1 Année 2004-2005

2 novembre 2004

Table des matières

I Généralités sur les ensembles et les applications 3

II Fonctions numériques 5 1 Sous-ensembles de ℝ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Ouverts de ℝ^{2} et ℝ^{n} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3 Fonctions numériques : définitions et exemples . . . . . . . . . 9 4 Fonctions numériques : limite et continuité . . . . . . . . . . . 13

I Généralités sur les ensembles et les applications

Définition 0.1 Un ensemble est une collection d’objets appelés éléments de l’ensemble.

a ∈ A signifie que a est un élément de A. {a, b, c} désigne l’ensemble formé des éléments a, b et c. ∅ désigne l’ensemble sans élément.

Définition 0.2 Soit A un ensemble. Un sous-ensemble de A est un ensemble fomé d’éléments de A.

B ⊂ A signifie que B est un sous-ensemble de A. On dit aussi que B est contenu dans A.

Opérations : Soit B et C deux sous-ensembles de A.

L’intersection de B et C, notée B ∩ C est le sous-ensemble de A formé des élements de A qui sont dans B et dans C :

B ∩ C = {a ∈ A ; a ∈ B et a ∈ C} ,

lire : ”l’ensemble des éléments a de A tels que a appartient à B et a appartient à C”.

La réunion de B et C, notée B ∪ C est le sous-ensemble de A formé des élements de A qui sont dans B ou dans C :

B ∪ C = {a ∈ A ; a ∈ B ou a ∈ C} ,

lire : ”l’ensemble des éléments a de A tels que a appartient à B ou a appartient à C”.

Le complémentaire de B dans A, noté A − B, est l’ensemble des éléments de A qui ne sont pas dans B :

A − B = {a ∈ A ; a ∉ B} ,

lire : ”l’ensemble des éléments a de A tels que a n’appartient pas à B”.

Définition (application) 0.3 Une application f : A → B est un procédé qui associe à tout élément a de A un unique élément b de B noté f(a) et appelé image de a par f.

On appelle identité de l’ensemble A et on note Id_{A} l’application de A vers A définie par Id_{A}(a) = a :

Id_{A} : A → A : a ↦ (Id_{A})(a) = a .

Définition (composition des applications) 0.4 Soit f : A → B et g : B → C deux applications. On appelle composée de g par f et on note g ∘ f l’application de A vers C définie par (g ∘ f)(a) = g(f(a)) pour tout a dans A :

g ∘ f : A → C : a ↦ (g ∘ f)(a) = g(f(a)) .

Définition (application injective, surjective et bijective) 0.5 Soit f : A → B une application. Si pour tout élément b de B l’équation :

f(a) = b

admet – zéro ou une solution, on dit que f est injective,

– une ou plus de solutions, on dit que f est surjective,

– exactement une solution, on dit que f est bijective.

Définition 0.6 Soit f : A → B une application bijective. On appelle inverse de f, l’application notée f^{−1} : B → A définie pour tout élément b de B par :

f^{−1}(b) est l’unique élément a de A solution de f(a) = b.

Si f : A → B est une application bijective, on peut vérifier :

f ∘ f^{−1} = Id_{B} et f^{−1} ∘ f = Id_{A} .

Définition (fonction) 0.7 Une fonction f : A → B est un procédé qui associe à tout élément a de A zéro ou un élément b de B noté alors f(a) et appelé image de a. Le domaine de définition de la fonction f est l’ensemble des éléments de A qui ont une image par f. On note cet ensemble D_{f}.

Soit f : A → B et g : B → C deux fonctions, g∘f désignera la fonction de A vers C définie sur l’ensemble des éléments a de D_{f} tels que f(a) appartienne à D_{g} par (g ∘ f)(a) = g(f(a)). Ainsi, par définition :

D_{g∘f} = {a ∈ D_{f} ; f(a) ∈ D_{g}} .

II Fonctions numériques

1 Sous-ensembles de ℝ

Soit a et b deux nombres réels avec a < b. Il y a neuf types d’intervalle de ℝ :

\begin{aligned}]a, b[ & = & \{x ∈ ℝ ; a < x < b\} \\ ]a, b] & = & \{x ∈ ℝ ; a < x ≤ b\} \\ [a, b[ & = & \{x ∈ ℝ ; a ≤ x < b\} \\ [a, b] & = & \{x ∈ ℝ ; a ≤ x ≤ b\} \\ ] − ∞, b[ & = & \{x ∈ ℝ ; x < b\} \\ ] − ∞, b] & = & \{x ∈ ℝ ; x ≤ b\} \\ ]a, ∞[ & = & \{x ∈ ℝ ; a < x\} \\ [a, ∞[ & = & \{x ∈ ℝ ; a ≤ x\} \\ ] − ∞, ∞[ & = & ℝ \end{aligned}

Considérons la fonction valeur absolue :

ℝ → ℝ^{+} : x ↦| x | = \{ \begin{matrix}x & si x ≥ 0 , \\ −x & sinon . \end{matrix}

Pour tout x et y dans ℝ :

| x + y |≤| x | + | y | ,

| xy |=| x || y | ,

| x |= 0 si et seulement si x = 0 .

Rappelons que pour ϵ réel positif et a réel :

\{ \begin{matrix}| x − a |≤ ϵ & équivaut à & x ∈]a − ϵ, a + ϵ[ , \\ & équivaut à & a − ϵ < x < a + ϵ . \end{matrix}

Définition (ouvert, fermé, borné) 1.1 Un sous-ensemble U de ℝ est dit ouvert si pour tout u ∈ U, il existe ϵ tel que ]u − ϵ, u + ϵ[ soit contenu dans U (attention que ϵ dépend du u pris dans U). Un sous-ensemble ℝ est dit fermé si son complémenatire dans ℝ est ouvert. Un sous-ensemble H de ℝ est dit borné s’il existe un réel M tel que pour tout h ∈ H, on ait | h |≤ M.

Remarque 1.2 Soit a et b deux nombres réels avec a < b. Les intervalles ]a, b[, ]−∞, a[, ]b, ∞[ sont ouverts. Les intervalles [a, b], ]−∞, a], [b, ∞[ sont fermés.

Remarque 1.3 L’intersection et la réunion de deux ouverts de ℝ sont des ouverts. De même, l’intersection et la réunion de deux fermés de ℝ sont des fermés et l’intersection et la réunion de deux sous-ensembles bornés de ℝ sont bornés.

2 Ouverts de ℝ^{2} et ℝ^{n}

Revenons aux intervalles de ℝ. Soit D une droite. Fixons un repère de D. L’ensemble des nombres réels ℝ s’identifie à la droite D par l’application qui à un réel x associe le point M de D d’abscisse x.

Soit x, a deux réels ; soit M le point de D d’abscisse x et A celui d’abscisse a. La longueur du segment AM est | x − a |. Soit de plus, r un réel positif. L’ensemble :

B(a, r) := {x ∈ ℝ ; | x − a |< r} =]a − r, a + r[

s’identifie donc à l’ensemble M des points de D qui sont à une distance de A strictement inférieur à r. Comme \sqrt{(x − a)^{2}} =| x − a |, nous avons aussi :

B(a, r) = \{x ∈ ℝ ; \sqrt{(x − a)^{2}} < r\} .

Considérons l’ensemble ℝ^{2} des couples de nombres réels. Soit P un plan. Fixons un repère de P. L’ensemble ℝ^{2} s’identifie alors au plan P par l’application qui au couple (x_{1}, x_{2}) ∈ ℝ^{2} associe le point M de P de coordonnées (x_{1}, x_{2}) dans le repère de P.

Soit x = (x_{1}, x_{2}) ∈ ℝ^{2}, a = (a_{1}, a_{2}) ∈ ℝ^{2}. Soit M le point de P de coordonnées x = (x_{1}, x_{2}) et A celui de coordonnées a = (a_{1}, a_{2}). La longueur du segment AM est :

\sqrt{(x_{1} − a_{1})^{2} + (x_{2} − a_{2})^{2}} .

Soit de plus, r un réel positif. Notons :

B(a, r) = \{x = (x_{1}, x_{2}) ∈ ℝ^{2} ; \sqrt{(x_{1} − a_{1})^{2} + (x_{2} − a_{2})^{2}} < r\} .

Cet ensemble s’identifie à l’ensemble M des points de P qui sont à une distance de A strictement inférieur à r; c’est à dire au disque de centre a et de rayon r sans son bord.

Considérons l’ensemble ℝ^{3} des triplets de nombres réels. Soit E un espace. Fixons un repère de E. L’ensemble ℝ^{3} s’identifie alors au plan E par l’application qui au couple (x_{1}, x_{2}, x_{3}) ∈ ℝ^{3} associe le point M de E de coordonnées (x_{1}, x_{2}, x_{3}) dans le repère de E.

Soit x = (x_{1}, x_{2}, x_{3}) ∈ ℝ^{3}, a = (a_{1}, a_{2}, a_{3}) ∈ ℝ^{3}. Soit M le point de E de coordonnées x = (x_{1}, x_{2}, x_{3}) et A celui de coordonnées a = (a_{1}, a_{2}, a_{3}). La longueur du segment AM est :

\sqrt{(x_{1} − a_{1})^{2} + (x_{2} − a_{2})^{2} + (x_{3} − a_{3})^{2}}

Soit de plus, r un réel positif. Notons :

B(a, r) = \{x = (x_{1}, x_{2}, x_{3}) ∈ ℝ^{3}; \sqrt{(x_{1} − a_{1})^{2} + (x_{2} − a_{2})^{2} + (x_{3} − a_{3})^{2}} < r\} .

Cet ensemble s’identifie à l’ensemble M des points de E qui sont à une distance de A strictement inférieur à r; c’est à dire à la boule de centre a et de rayon r sans son bord.

Soit n ≥ 1 un entier naturel . Les définitions ci-dessus se généralisent à l’ensemble ℝ^{n} formé des n-uplets de nombres réels.

Définition (distance) 2.1 Soit x = (x_{1}, …, x_{n}), a = (a_{1}, …, a_{n}) ∈ ℝ^{n}. On appelle distance de x à a le nombre réel positif :

\sqrt{∑_{i=1}^{n}(x_{i} − a_{i})^{2}} = \sqrt{(x_{1} − a_{1})^{2} + ⋯ + (x_{n} − a_{n})^{2}} .

et nous notons pour r réel positif :

B(a, r) = \{x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ ℝ^{n} ; \sqrt{∑_{i=1}^{n}(x_{i} − a_{i})^{2}} < r\} .

Définition (ouvert, fermé, borné) 2.2 Un sous-ensemble U de ℝ^{n} est dit ouvert si pour tout u ∈ U, il existe ϵ tel que B(u, ϵ) soit contenu dans U (attention : ϵ dépend du u pris dans U). Un sous-ensemble ℝ^{n} est dit fermé si son complémenatire dans ℝ^{n} est ouvert. Un sous-ensemble H de ℝ^{n} est dit borné s’il existe un réel M tel que pour tout x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ H, on ait \sqrt{x_{1}^{2} + ⋯ + x_{n}^{2}} < M.

Remarque 2.3 Soit x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ ℝ^{n} et r un réel positif. Alors B(x, r) est un ouvert de ℝ^{n}. On appelle cet ensemble la boule ouverte de centre x et de rayon r.

Soit a = (a_{1}, …, a_{n}) ∈ ℝ^{n} et r réel positif. Désignons par :

B̃(a, r) = {x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ ℝ^{n} ; max{| x_{1} − a_{1} |, …, | x_{n} − a_{n} |} < r} .

Pour n = 2, si A désigne le point de coordonnnées a = (a_{1}, a_{2}), B̃(a, r) s’identifie au carré de centre a dont la longueur des cotés est 2r.

Nous avons :

B(a, r) ⊂ B̃(a, r) ⊂ B(a, \sqrt{n} r) ⊂ B̃(a, \sqrt{n} r) .

L’ensemble ℝ^{n} des n-uplets de réels est muni d’une addition, d’une soustraction et d’une multiplication par les réels. Soit :

x = (x_{1}, …, x_{n}) , x = (y_{1}, …, y_{n}) ∈ ℝ^{n} et λ ∈ ℝ

– la somme de x et y est le n-uplet noté x + y défini par :

x + y = (x_{1} + y_{1}, …, x_{n} + y_{n}) ,

– la différence de x par y est le n-uplet noté x − y défini par :

x − y = (x_{1} − y_{1}, …, x_{n} − y_{n}) ,

– le produit de x par λ est le n-uplet noté λx défini par :

λx = (λx_{1} + y_{1}, …, λx_{n}) .

On note 0 ∈ ℝ^{n} le n-uplet (0, …, 0).

On peut vérifier que pour tout x,y,z ∈ ℝ^{n} et λ, μ ∈ ℝ, on a :

(x + y) + z = (x + y) + z ,
λ(μx) = (λμ)x ,
λ(x + y) = λx + λy ,
(λ + μ)x = λx + μx ,
x − x = 0 .

Remarque 2.4 L’intersection et la réunion de deux ouverts de ℝ^{n} sont des ouverts. De même, l’intersection et la réunion de deux fermés de ℝ^{n} sont des fermés et l’intersection et la réunion de deux sous-ensembles bornés de ℝ^{n} sont bornés.

3 Fonctions numériques : définitions et exemples

On appelle fonction numérique à n variables une fonction f : U → ℝ d’un sous-ensemble U de ℝ^{n} vers l’ensemble des nombres réels.

Exemple : Considérons la fonction :

g : ℝ^{2} → ℝ : x = (x_{1}, x_{2}) ↦ \begin{matrix}√ & \overline{x_{1}} \\ √ & \overline{x_{2}} \end{matrix} .

Son domaine de définition est :

D_{g} = {x = (x_{1}, x_{2}) ; x_{1} ≥ 0 et x_{2} > 0} .

Considérons la fonction :

h : ℝ^{2} → ℝ : x = (x_{1}, x_{2}) ↦ \frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}{x_{1}x_{2}} .

Son domaine de définition est :

D_{g} = {x = (x_{1}, x_{2}) ; x_{1} ≠ 0 ou x_{2} ≠ 0}

qui s’identifie à la réunion des axes de coordonnées.

Considérons deux fonctions f : U → ℝ, g : U → ℝ, et un réel λ.

On appelle somme de f et g la fonction notée f + g : U → ℝ définie pour tout x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ U par :

(f + g)(x_{1}, …, x_{n}) := (f(x_{1}, …, x_{n}) + g(x_{1}, …, x_{n}) .

On appelle produit de f par g la fonction notée fg : U → ℝ définie pour tout x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ U par :

(fg)(x_{1}, …, x_{n}) := f(x_{1}, …, x_{n})g(x_{1}, …, x_{n}) .

Les fonctions f + g et fg sont définies en tout point où f et g le sont. Les domaines de définitions de f + g et fg sont donc D_{f} ∩ D_{g} l’intersection du domaine de définition de f et du domaine de définition de g.

On appelle quotient de f par g la fonction notée \frac{f}{g} : U → ℝ définie pour

tout x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ U par :

\frac{f}{g} (x_{1}, …, x_{n}) = \frac{f(x_{1}, …, x_{n})}{g(x_{1}, …, x_{n})} .

La fonction \frac{f}{g} est définie en tout point où f et g sont définies et où g ne

s’annule pas.

D_{f/g} = {x ∈ D_{g} ∩ D_{f} ; g(x) ≠ 0}

On appelle produit de f par λ ∈ ℝ la fonction notée λf : U → ℝ définie pour tout x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ U par :

(λf)(x_{1}, …, x_{n}) = λf(x_{1}, …, x_{n}) .

Le domaine de définition de λf coïncide avec celui de f.

Exemple Soient f,g les fonctions numériques :

f : ℝ^{2} → ℝ : (x_{1}, x_{2}) ↦ x_{1} + x_{2} − x_{1}^{2} ,
g : ℝ^{2} → ℝ : (x_{1}, x_{2}) ↦ 2x_{1}^{2} + x_{2}^{2} .

La fonction \frac{f + g}{g} est la fonction :

ℝ^{2} → ℝ : (x_{1}, x_{2}) ↦ \frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{1} + x_{2}}{2x_{1}^{2} + x_{2}^{2}} .

Montrer que cette fonction est définie sur ℝ^{2}.

Définition (norme usuelle) 3.1 Nous appelons norme usuelle de ℝ^{n} l’application de ℝ^{n} vers l’ensemble ℝ^{+} des réels positifs définie par :

ℝ^{n} → ℝ^{+} : x = (x_{1}, …, x_{n}) ↦|| x ||= \sqrt{x_{1}^{2} + ⋯ + x_{n}^{2}} .

Avec cette définition si a = (a_{1}, …, a_{n}) ∈ ℝ^{n} et si est un r réel positif.

B(a, r) = {x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ ℝ^{n} ; || x − a ||< r} .

En effet, par définition de la soustraction dans ℝ^{n} :

|| x − a ||= \sqrt{(x_{1} − a_{1})^{2} + ⋯ + (x_{n} − a_{n})^{2}}

qui n’est d’ailleurs rien d’autre que la distance de x à a.

Pour tout x, y ∈ ℝ^{n} et tout λ ∈ ℝ, on peut montrer :

|| x + y ||≤|| x || + || y || ,

|| λx ||=| λ | || x || ,

|| x ||= 0 si et seulement si x = 0 .

Considérons la fonction numérique d’une seule variable :

f : ℝ → ℝ : x ↦ f(x) = \frac{1}{2}x^{17} + 5x − 4

Cette fonction est définie sur ℝ. C’est une fonction polynômiale d’une variable de degré 17.

Définition (fonction polynômiale d’une variable) 3.2 Soit m+1 réels a_{0}, a_{1}, …, a_{m} tels que a_{0} ≠ 0. On appelle fonction polynômiale d’une variable de degré m la fonction :

f : ℝ → ℝ : x ↦ f(x) = a_{0}x^{m} + a_{1}x^{m−1} + ⋯ + a_{0} .

Considérons la fonction numérique de deux variables :

f : ℝ^{2} → ℝ : x = (x_{1}, x_{2}) ↦ f(x) = \frac{2}{3}x_{1}^{12}x_{2}^{5} + 5x_{1}^{3}x_{2}^{7} − 4 .

Cette fonction est définie sur ℝ^{2}. C’est une fonction polynômiale de deux variables.

Définition (fonction polynômiale de n variables) 3.3 Soit I un sousensemble fini de n-uplets d’entiers naturels. Donnons nous pour chaque élément (k_{1}, …, k_{n}) de I un réel noté a_{k_{1},...,k_{n}}. La fonction :

f : ℝ^{n} → ℝ : x = (x_{1}, …, x_{n}) ↦ f(x) = ∑_{k_{1},...,k_{n}∈I} a_{k_{1},...,k_{n}}x_{1}^{k_{1}} … x_{n}^{k_{n}}

est appelée fonction polynômiale de n variables.

On remarque que la somme et le produit de deux fonctions polynômiales de n variables est une fonction polynômiale de n variables, de même que le produit d’une fonction polynômiale de n variables par un réel.

Définition (fonction rationelle de n variables) 3.4 On appelle fonction rationelle de n variables le quotient de deux fonctions polynômiales de n variables

Exemple La fonction :

h : ℝ^{2} → ℝ : x = (x_{1}, x_{2}) ↦ h(x_{1}, x_{2}) = \frac{x_{1}^{5}x_{2} + x_{1}x_{2}^{3}}{x_{1}^{3}x_{2}^{6} + x_{1} + 2}

est une fonction rationelle de deux variables. Elle est définie sur :

{(x_{1}, x_{2}) ∈ ℝ^{2} ; x_{1}^{3}x_{2}^{6} + x_{1} + 2 ≠ 0} .

Cet ensemble n ’est pas du tout évident à représenter géométriquent.

On remarque que la somme, le produit et le quotient de deux fonctions rationelles de n variables est une fonction rationelle de n variables, de même que le produit d’une fonction rationelle de n variables par un réel.

4 Fonctions numériques : limite et continuité

Définition (point adhérent) 4.1 Soit A un sous-ensemble de ℝ^{n}. Un point a = (a_{1}, …, a_{n}) ∈ ℝ^{n} est dit adhérent à A si pour tout réel strictement positif, B(a, r) rencontre A.

Exemple avec n = 1 : Le réel u est adhérent à A =]u, v[⊂ ℝ. En effet, pour tout réel strictement positif r, B(u, r) =]u − r, u + r[ rencontre ]u, v[.

Exemple avec n = 2 : Le point (2, 0) est adhérent au sous-ensemble :

A = {(x_{1}, x_{2}) ∈ ℝ^{2} ; x_{2} > 0} .

En effet, il est clair que la boule B((2, 0), r) qui est le disque de centre (2, 0) et de rayon r rencontre A pour tout r réel strictement positif. Par contre le point (2, −1) n’est pas adhérent à A.

Remarque 4.2 Un point de A est toujours adhérent à A.

Définition (limite) 4.3 Soit f : A → ℝ une fonction définie sur un ensemble A de ℝ^{n}. Soit a = (a_{1}, …, a_{n}) ∈ ℝ^{n} adhérent à A et l ∈ ℝ. On dit que f tend vers l quand x tend vers a, ou encore que f a pour limite l quand x tend vers a si ” f est proche de l quand x est proche de a”, c’est-à-dire : si pour tout réel ϵ > 0, il existe un réel η > 0 tel que

x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ B(a, η) et x ∈ A implique | f(x) − l |< ϵ .

Si cette limite existe, elle est unique. Nous la notons :

lim_{x→a} f(x) = l .

Exemple f : ℝ^{2} → ℝ : (x_{1}, x_{2}) ↦ x_{1}. Le point a = (17, 2) est adhérent à ℝ^{2}, car c’est un point de ℝ^{2}. Nous avons :

lim_{(x_{1},x_{2})→(17,2)} f(x_{1}, x_{2}) = f(17, 2) = 17 .

En effet, soit ϵ > 0. Rappelons que :

B((17, 2), η) = \{(x_{1}, x_{2}) ∈ ℝ^{2} ; \sqrt{(x_{1} − 17)^{2} + (x_{2} − 2)^{2}} < η\} .

Nous devons montrer que : tout réel ϵ > 0, il existe un réel η > 0 tel que

\sqrt{(x_{1} − 17)^{2} + (x_{2} − 2)^{2}} < η implique | x_{1} − 17 |< ϵ .

Il suffit de prendre η = ϵ, puisque pour tout (x_{1}, x_{2}) :

| x_{1} − 17 |≤ \sqrt{(x_{1} − 17)^{2} + (x_{2} − 2)^{2}} .

Plus généralement, on montre de même que pour tout a = (a_{1}, a_{2}) ∈ ℝ^{2}, on a :

lim_{(x_{1},x_{2})→(a_{1},a_{2})} f(x_{1}, x_{2}) = f(a_{1}, a_{2}) = a_{1} .

Opérations sur les limites : Soient f, g : A → ℝ deux fonctions définies sur un ensemble A de ℝ^{n}. Soit a = (a_{1}, …, a_{n}) ∈ ℝ^{n} adhérent à A. On suppose que lim_{x→a} f(x) = l′, lim_{x→a} g(x) = l′′. Nous avons :

i) lim_{x→a}(f + g)(x) existe et vaut l′ + l′′,

ii) lim_{x→a}(λf)(x) existe et vaut λl′,

iii) lim_{x→a}(λf)(x) existe et vaut λl′ où λ ∈ ℝ. Si de plus, g est non nulle sur A et l′′ ≠ 0, alors lim_{x→a}(f/g)(x) existe et vaut l′/l′′.

Donnons une propriété utile pour calculer des limites.

Proposition 4.4 Soient f, g, h : A → ℝ trois fonctions définies sur un ensemble A de ℝ^{n}. Soit a = (a_{1}, …, a_{n}) ∈ ℝ^{n} adhérent à A. Supposons qu’il existe un réel r > 0 tel que si x appartient à B(a, r), on ait :

f(x) ≥ g(x) ≥ h(x) .

Supposons alors que lim_{x→a} f(x) = lim_{x→a} h(x) = l, alors lim_{x→a} g(x) existe et vaut l.

Remarque 4.5 Soit f : A → ℝ une fonction définie sur un ensemble A de

ℝ^{n}. Si a = (a_{1}, …, a_{n}) ∈ ℝ^{n} et lim_{x→a} f(x) = l, alors l = f(a).

Définition (continuité) 4.6 Soit f : A → ℝ une fonction définie sur un ensemble A de ℝ^{n}. Soit a = (a_{1}, …, a_{n}) ∈ A On dit que f est continue en a si lim_{x→a} f(x) existe. Comme a ∈ A, on a alors : lim_{x→a} f(x) = f(a). On dit que f est continue si f est continue en tout point de A.

Opérations sur les fonctions continues : Soient f, g : A → ℝ deux fonctions définies sur un ensemble A de ℝ^{n}. Supposons que f et g sont continues en un point a = (a_{1}, …, a_{n}) ∈ A. Alors les fonctions f + g, fg et λf (où λ ∈ ℝ) sont continues en a. Si de plus g est non nul sur A, la fonction f/g est continue en a. Il en est de même si on remplace continue en a par continue.

Proposition 4.7 Une fonction polynomiale de ℝ^{n} vers ℝ est continue. Une fonction rationelle est continue sur son domaine de définition.

Idée de la preuve : On montre comme dans l’exemple précédent que les fonctions coordonnées ℝ^{n} → ℝ : (x_{1}, …, x_{n}) ↦ x_{j} sont continues. On en déduit que les fonctions polynomiales sont continues, car elles s’obtiennent comme produit et sommes finies de fonctions coordonnées.

Exemple : La fonction :

f : ℝ^{2} → ℝ : (x_{1}, x_{2}) ↦ f(x_{1}, x_{2}) = x_{1}^{2} + x_{1}x_{2} + \frac{1}{2}x_{2}^{2}

est continue car polynomiale. En particulier,

lim_{(x_{1},x_{2})→(3,2)} f(x_{1}, x_{2}) = f(3, 2) = 17 .

Considérons la fonction rationelle :

g : ℝ^{2} → ℝ : (x_{1}, x_{2}) ↦ g(x_{1}, x_{2}) = \begin{matrix}√ & \overline{x_{1}} \\ √ & \overline{x_{2}} \end{matrix} .

Son domaine de définition est :

D = {(x_{1}, x_{2}) ∈ ℝ^{2}; x_{1} ≥ 0 et x_{2} > 0} .

Considérons la fonction

h : D → ℝ : (x_{1}, x_{2}) ↦ h(x_{1}, x_{2}) = \begin{matrix}√ & \overline{x_{1}} \\ √ & \overline{x_{2}} \end{matrix} .

La propostion 4.7 signifie que h est continue. En particulier,

lim_{(x_{1},x_{2})→(3,2)} h(x_{1}, x_{2}) = \begin{matrix}√ & \overline{3} \\ √ & \overline{2} \end{matrix} .

Proposition 4.8 Soit f : A → ℝ une fonction définie sur un ensemble A de ℝ^{n}. Soit B ⊂ A, on appelle restriction de f à B l’application notée f_{|B} :

f_{|B} : B → ℝ : x ↦ f(x) .

Alors si f est continue, la restriction de f à B est continue.

Exemple : Considérons la fonction f :

f : ℝ^{2} → ℝ : (x_{1}, x_{2}) ↦ f(x_{1}, x_{2}) = x_{2} .

Cette fonction est continue car polynomiale. La restriction de cette fonction à C = {(x_{1}, x_{2}) ∈ ℝ^{2} ; x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 1} :

C → ℝ : (x_{1}, x_{2}) ↦ f_{|C}(x_{1}, x_{2}) = x_{2}

est donc continue.

Composition de limites et de fonctions continues : Soit f : A → ℝ une fonction définie sur un ensemble A de ℝ^{n}. Soit g : B → ℝ une fonction définie sur un ensemble B de ℝ. Pour composer g par f, il faut et il suffit que pour x ∈ A, f(x) ∈ B. On peut alors définir :

g ∘ f : A → ℝ : x ↦ g(f(x)) .

i) Supposons que a ∈ ℝ^{n} est adhérent à A et que lim_{x→a} f(x) = b. Alors, b est adhérent à B. Supposons aussi que lim_{y→b} g(y) = l. Alors :

lim_{x→a}(g ∘ f)(x) existe et vaut l .

ii) Si f est continue en a ∈ A et si g est continue en f(a), alors g ∘ f est

continue en a. iii) Si f et g sont continues, g ∘ f est continue.

Exemple : Considérons la fonction f :

f : ℝ^{2} → ℝ : (x_{1}, x_{2}) ↦ f(x_{1}, x_{2}) = \sqrt{2x_{1}^{2} + 3x_{2}^{2}} .

Cette fonction s’obtient par composée de la fonction polynomiale :

ℝ^{2} → ℝ : (x_{1}, x_{2}) ↦) = 2x_{1}^{2} + 3x_{2}^{2}

et de la fonction racine :

ℝ^{+} → ℝ : x ↦= \sqrt{x} .

La première fonction est continue car polynomiale. En revenant à la définition des limites, on peut montrer que la fonction racine est continue (nous l’admettrons).

Généralisons quelque peu ce principe de composition. Considérons p fonctions f_{1}, …, f_{p} : A → ℝ définies sur un ensemble A de ℝ^{n}. Ces fonctions permettent de définir une application :

f : A → ℝ^{p} : x ↦ (f_{1}(x), … f_{p}(x)) .

Soit g : B → ℝ une fonction définie sur un ensemble B ⊂ ℝ^{p}. Pour composer g par f, il suffit que pour x ∈ A : f(x) ∈ B. La fonction g ∘ f est alors définie :

g ∘ f : A → ℝ : x ↦ g(f_{1}(x), …, f_{p}(x)) .

i) Supposons que a ∈ ℝ^{n} est adhérent à A et que pour tout entier 1 ≤ j ≤ p, on ait : lim_{x→a} f_{j}(x) = b_{j}. Alors, b = (b_{1}, …, b_{p}) est adhérent à B. Supposons aussi que lim_{y→b} g(y) = l. Alors, lim_{x→a}(g ∘ f)(x) existe et vaut l.

i)) Si f est continue en a ∈ A et si g est continue en f(a), alors g ∘ f esr

continue en a. i))) Si f et g sont continues, g ∘ f est continue.