 \documentclass[12pt]{article}
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\newtheorem{definition}[subsubsection]{D\'efinition}
\newtheorem{proposition} [subsubsection]{Proposition}
\newtheorem{notation} [subsubsection]{Notation}
\newtheorem{corollaire} [subsubsection]{Corollaire}
\newtheorem{remar}[subsubsection]{Remarque}
\newenvironment{remarque}{\begin{remar} \rm }%
{\end{remar}}
\newtheorem{theoreme} [subsubsection]{Th\'eor\`eme}
\newtheorem{lemme} [subsubsection]{Lemme}
\renewcommand{\thesection}{\Roman{section}}
\renewcommand{\thesubsection}{\arabic{subsection}}
\renewcommand\contentsname{Sommaire}
\newtheorem{exercice}[subsubsection]{\bf Exercice}
\newenvironment{exo}{\begin{exercice}-- \rm }
{\end{exercice}}
\newtheorem{corrige}[subsubsection]{\bf Corrig\'e de  l'exercice}
\newenvironment{corri}{\begin{corrige}-- \rm }
{\end{corrige}}
\def\preuve{\ifhmode\par\fi\noindent{\bf Preuve : }\ignorespaces}

\newcommand{\R}{\mathbb{R}}



 \title{Licence de Sciences \'Economiques \\Math\'ematiques  L1    \\ Ann\'ee 2004-2005}

  \begin{document}

\maketitle
\newpage
\tableofcontents
\newpage

\section{G\'en\'eralit\'es sur les ensembles et les applications}
\label{sgea}

\begin{definition}
Un ensemble est une collection d'objets appel\'es \'el\'ements de
l'ensemble.
\end{definition}

\noindent $a \in A$ signifie que $a$ est un \'el\'ement de $A$. \\
$\{ a,b,c \}$ d\'esigne l'ensemble form\'e des \'el\'ements $a$, $b$ et $c$.\\
$\emptyset$ d\'esigne l'ensemble sans \'el\'ement.

\begin{definition} Soit $A$ un ensemble. Un sous-ensemble de $A$ est un ensemble fom\'e
d'\'el\'ements de $A$.
\end{definition}

\noindent $B \subset A$ signifie que $B$ est un sous-ensemble de $A$.
On dit aussi que $B$ est contenu dans $A$.\\

\noindent {\bf Op\'erations :} Soit $B$ et $C$ deux sous-ensembles de $A$.\\

L'intersection de $B$ et $C$, not\'ee $ B \cap C $ est le sous-ensemble de $A$ form\'e
des \'elements de $A$ qui sont dans $B$ et dans $C$~:
$$ B \cap C = \{ a \in A \quad  ; \quad   a \in B \quad    {\rm et}  \quad   a \in C \}\; ,$$
lire : ''l'ensemble des \'el\'ements $a$ de $A$ tels que $a$ appartient \`a $B$ et $a$ appartient \`a $C$''.\\


La r\'eunion de $B$ et  $C$, not\'ee $ B \cup C $ est le sous-ensemble de $A$ form\'e
des \'elements de $A$ qui sont dans $B$ ou dans $C$~:
$$ B \cup C = \{ a \in A \quad  ; \quad   a \in B \quad    {\rm ou}  \quad   a \in C \} \; ,$$
lire : ''l'ensemble des \'el\'ements $a$ de $A$ tels que $a$ appartient \`a $B$ ou  $a$ appartient \`a $C$''.\\


Le compl\'ementaire de $B$ dans $A$, not\'e $ A - B $, est l'ensemble des \'el\'ements de $A$ qui ne sont pas dans $B$~:
$$ A - B  = \{ a \in A \quad  ; \quad   a \notin B  \}\; , $$
 lire : ''l'ensemble des \'el\'ements $a$ de $A$ tels que $a$ n'appartient pas \`a $B$''.\\

\newtheorem{defappl}[subsubsection]{D\'efinition (application)}
\begin{defappl}
 Une application $f: A \rightarrow B$
est un proc\'ed\'e qui associe \`a tout \'el\'ement $a$ de $A$ un unique \'el\'ement $b$ de $B$  not\'e $f(a)$
et appel\'e image de $a$ par $f$.
\end{defappl}

\noindent  On appelle identit\'e de l'ensemble $A$ et on note $ {\rm Id}_A $ l'application de $A$ vers $A$ d\'efinie par
$ {\rm Id}_A (a) = a$~:
$$ {\rm Id}_A  : A \rightarrow A \quad : \quad a \mapsto ({\rm Id}_A )(a) = a \; .$$


\newtheorem{defca}[subsubsection]{D\'efinition (composition des applications)}
\begin{defca}
 Soit $f:A \rightarrow B$ et $g : B \rightarrow C$
deux applications. On appelle compos\'ee de $g$ par $f$ et on note $g \circ f $ l'application de $A$
vers $C$ d\'efinie par $ (g \circ f)(a) = g (f(a))$ pour tout $a$ dans $A$~:
$$ g\circ f : A \rightarrow C \quad : \quad a \mapsto (g \circ f)(a) = g (f(a))\; .$$
\end{defca}

\newtheorem{defisb}[subsubsection]{D\'efinition (application injective, surjective et bijective)}
\begin{defisb}   Soit $f : A \rightarrow B$ une application. Si pour tout \'el\'ement $b$ de $B$ l'\'equation~:
$$ f(a) = b $$
admet
\begin{itemize}
\item z\'ero ou une solution, on dit que $f$ est injective,
\item une ou plus de solutions, on dit que $f$ est surjective,
\item exactement une   solution, on dit que $f$ est bijective.
\end{itemize}
\end{defisb}

\begin{definition}
Soit $f :  A \rightarrow B $ une application bijective. On appelle inverse de $f$, l'application not\'ee $f^{-1} : B \rightarrow A$
d\'efinie pour tout \'el\'ement $b$ de $B$
 par~:
\begin{center} $f^{-1}(b)$ est l'unique \'el\'ement $a$ de $A$ solution de $f(a) =b$.
\end{center}
\end{definition}

Si $f : A \rightarrow B$ est une application bijective, on peut v\'erifier~:
$$ f \circ f^{-1} = {\rm Id}_B \quad {\rm et} \quad f^{-1} \circ f = {\rm Id}_A \; . $$

\newtheorem{deff}[subsubsection]{D\'efinition (fonction)}
\begin{deff}
 Une fonction $f: A \rightarrow B$
est un proc\'ed\'e qui associe \`a tout \'el\'ement $a$ de $A$ z\'ero ou un
 \'el\'ement $b$ de $B$  not\'e alors $f(a)$ et appel\'e image de $a$. Le domaine de d\'efinition de la fonction
$f$ est l'ensemble des \'el\'ements de $A$ qui ont une image par $f$.  On   note cet ensemble ${\cal D}_f$.
 \end{deff}

Soit $f:A \rightarrow B$ et $g : B \rightarrow C$  deux fonctions, $g\circ f$ d\'esignera la fonction
de $A$ vers $C$ d\'efinie sur l'ensemble des \'el\'ements $a$ de ${\cal D}_f$ tels que $f(a)$ appartienne \`a
${\cal D}_g$ par $(g \circ f) (a) = g (f(a))$. Ainsi, par d\'efinition~:
$$ {\cal D}_{g \circ f} = \{ a \in {\cal D}_f \quad ; \quad f(a) \in {\cal D}_g \}\; .$$

\section{Fonctions num\'eriques}

\subsection{Sous-ensembles de $\mathbb{R}$}

Soit $a$ et $b$ deux nombres r\'eels avec $a < b$. Il y a neuf
types d'intervalle de ${\R}$~:


 $$\begin{array}{lll}
]a,b[  & = &\{ x \in {\R} \quad ; \quad a < x < b \} \\
]a,b] & =& \{ x \in {\R} \quad ; \quad a < x \leq b \} \\
 {[}a,b[  & = & \{ x \in {\R} \quad ; \quad a \leq x < b \} \\
 {[}a,b] &=& \{ x \in {\R} \quad ; \quad a \leq x \leq b \} \\
  ] - \infty , b[& =& \{ x \in {\R} \quad ; \quad   x < b \} \\
 ] - \infty , b]& =& \{ x \in {\R} \quad ; \quad   x \leq b \} \\
 ]a,\infty[ &=& \{ x \in {\R} \quad ; \quad a < x  \} \\
 {[} a,\infty[  & = & \{ x \in {\R} \quad ; \quad a \leq x  \}  \\
   ]- \infty ,\infty [   & = & {\R}
\end{array}$$

\noindent Consid\'erons  la fonction valeur absolue~:
$${\R} \rightarrow {\R}^+ \quad : \quad x \mapsto \mid x \mid \quad  = \quad
 \left\{  \begin{array}{ll}  x  & {\rm si} \;   x \geq 0 \, , \\
   -x & {\rm sinon } \, .
 \end{array} \right. $$

 Pour tout $x$ et $y$ dans ${\R}$~:

$$\left\{  \begin{array}{l} \mid x+y \mid \leq  \mid x \mid +  \mid y \mid \,   , \\
  \mid x y \mid =  \mid x \mid \mid y \mid \, , \\
    \mid x \mid = 0 \quad {\rm si \; et \; seulement \; si} \quad x =0  \; .
 \end{array} \right. $$



 Rappelons que pour $\epsilon $ r\'eel positif et $a$ r\'eel~:

$$\left\{  \begin{array}{lll}   \mid x - a  \mid   \leq \epsilon  & {\rm \acute{e}quivaut \; \grave{a} }  & x \in ]a - \epsilon, a + \epsilon [\, , \\
   & {\rm \acute{e}quivaut \; \grave{a} }   & a - \epsilon < x < a + \epsilon   \, .
 \end{array} \right. $$

\newtheorem{defo}[subsubsection]{D\'efinition (ouvert, ferm\'e, born\'e)}
\begin{defo}
 Un sous-ensemble $U$ de ${\R}$ est dit ouvert si pour tout $u \in U$, il existe  $\epsilon$
tel que $]u - \epsilon, u + \epsilon [$ soit contenu dans $U$
(attention que $\epsilon$ d\'epend du $u$ pris dans $U$). \\
Un sous-ensemble  ${\R}$ est dit ferm\'e si son compl\'emenatire dans ${\R}$ est ouvert.\\
Un  sous-ensemble $H$ de  ${\R}$ est dit born\'e s'il existe un
r\'eel $M$ tel que pour tout $h \in H$, on ait $\mid h \mid \leq
M$.
\end{defo}

\begin{remar} Soit $a$ et $b$ deux nombres r\'eels avec $a < b$. Les
intervalles $]a,b[$,   $]-\infty, a[$, $]b, \infty[$  sont ouverts.
Les intervalles $[a,b]$, $]-\infty, a]$, $[b, \infty[$  sont ferm\'es.
\end{remar}

\begin{remar} L'intersection et la r\'eunion de deux ouverts de ${\R}$
sont des ouverts. De m\^eme, l'intersection et la r\'eunion de
deux ferm\'es de ${\R}$ sont  des ferm\'es et l'intersection et la
r\'eunion de deux sous-ensembles born\'es
 de ${\R}$ sont  born\'es.
\end{remar}



\subsection{Ouverts  de  ${\R}^2$ et ${\R}^n$}
Revenons aux intervalles de ${\R}$. Soit $ {\cal D} $ une droite.
Fixons  un rep\`ere de ${\cal D} $. L'ensemble des nombres r\'eels
${\R}$ s'identifie \`a  la droite ${\cal D} $   par l'application
qui \`a un r\'eel $x$
  associe le point $M$ de ${\cal D} $ d'abscisse $x$.\\

Soit $x$, $a$ deux r\'eels~; soit $M$    le point de $D$ d'abscisse $x$ et
$A$ celui d'abscisse $a$.
La longueur du segment $AM$ est  $ \mid x - a \mid $.
Soit de plus, $r $ un r\'eel positif. L'ensemble~:
$$B(a,r) :=  \{ x \in {\R} \; ; \; \mid x-a \mid < r \} = ] a -  r , a + r [ $$
s'identifie donc \`a l'ensemble  $M$ des points de  ${\cal D} $ qui sont \`a une distance de $A$
strictement inf\'erieur \`a $r$.
Comme $\sqrt{(x- a)^2} = \mid x - a \mid$, nous avons aussi~:
$$ B(a,r)= \{ x   \in  {\R}  \quad ; \quad  \sqrt{(x- a)^2} < r   \}  \; .$$





Consid\'erons l'ensemble ${\R}^2$ des couples de nombres r\'eels.
Soit ${\cal P}  $ un plan. Fixons un rep\`ere de ${\cal P}$.
L'ensemble ${\R}^2$ s'identifie alors au plan ${\cal P}$  par l'application qui au couple $(x_1,x_2)\in {\R}^2$ associe le point $M$ de ${\cal P}$  de coordonn\'ees $(x_1,x_2)$ dans le rep\`ere de ${\cal P}$.\\

Soit $x=(x_1,x_2) \in {\R}^2$, $a= (a_1,a_2) \in {\R}^2$. Soit $M$
le point de ${\cal P}$ de coordonn\'ees $x=(x_1,x_2)$ et $A$ celui
de coordonn\'ees $a= (a_1,a_2)$. La longueur du segment $AM$ est~:
$$ \sqrt{(x_1-a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2} \; . $$
Soit de plus, $r $ un r\'eel positif. Notons~:
$$B(a,r )= \{ x=(x_1,x_2) \in  {\R}^2  \quad ; \quad  \sqrt{(x_1-a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2} < r   \} \; . $$
Cet ensemble s'identifie \`a l'ensemble  $M$ des points de  ${\cal P} $ qui sont \`a une distance de $A$
strictement inf\'erieur \`a $r$; c'est \`a dire au disque de centre $a$ et de rayon $r$
sans son bord.\\

Consid\'erons l'ensemble ${\R}^3$ des triplets de nombres r\'eels.
Soit $ {\cal E} $ un espace. Fixons un rep\`ere de $ {\cal E} $.
L'ensemble ${\R}^3$ s'identifie alors au plan ${\cal E}$  par l'application qui au couple $(x_1,x_2,x_3)\in {\R}^3$ associe le point $M$ de ${\cal E}$  de coordonn\'ees $(x_1,x_2,x_3)$ dans le rep\`ere de ${\cal E}$.\\

Soit $x=(x_1,x_2,x_3) \in {\R}^3$, $a= (a_1,a_2,a_3) \in {\R}^3$.
Soit $M$ le point de ${\cal E}$ de coordonn\'ees $x=(x_1,x_2,x_3)$
et $A$ celui de coordonn\'ees $a= (a_1,a_2,a_3)$. La longueur du
segment $AM$ est~:
$$ \sqrt{(x_1-a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2 + (x_3 - a_3)^2} $$
Soit de plus, $r $ un r\'eel positif. Notons~:
$$B(a,r)= \{ x=(x_1,x_2,x_3) \in  {\R}^3    ;    \sqrt{(x_1-a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2 +(x_3 - a_3)^2} < r \} \; . $$
Cet ensemble s'identifie \`a l'ensemble  $M$ des points de  ${\cal E} $ qui sont \`a une distance de $A$
strictement inf\'erieur \`a $r$; c'est \`a dire \`a la boule de centre $a$ et de rayon $r$
sans son bord.\\

Soit $n \geq 1$ un entier naturel . Les d\'efinitions ci-dessus se
g\'en\'eralisent  \`a l'ensemble ${\R}^n$ form\'e des $n$-uplets
de nombres r\'eels.

\newtheorem{defdist}[subsubsection]{D\'efinition (distance)}
\begin{defdist}
 Soit $x=(x_1, \ldots ,x_n)  $,  $a= (a_1, \ldots ,a_n) \in {\R}^n $.
 On appelle distance de $x $ \`a $a $ le nombre r\'eel
positif~:
$$\sqrt{ \sum_{i=1}^n(x_i-a_i)^2 } = \sqrt{ (x_1-a_1)^2 + \cdots + (x_n-a_n)^2}   \; .$$
 et nous notons pour $r$ r\'eel positif~:
$$B(a,r)= \{ x=(x_1,\ldots, x_n) \in  {\R}^n    \quad ;   \quad
 \sqrt{ \sum_{i=1}^n(x_i-a_i)^2} < r  \} \; . $$
 \end{defdist}

\newtheorem{defon}[subsubsection]{D\'efinition (ouvert, ferm\'e, born\'e)}
\begin{defon}
 Un sous-ensemble $U$ de ${\R}^n $ est dit ouvert si pour tout $u \in U$, il existe  $\epsilon$
tel que $B(u,\epsilon)$ soit contenu dans $U$
(attention~: $\epsilon$ d\'epend du $u$ pris dans $U$). \\
Un sous-ensemble  ${\R}^n$ est dit ferm\'e si son compl\'emenatire dans ${\R}^n$ est ouvert.\\
Un  sous-ensemble $H$ de  ${\R}^n$ est dit born\'e s'il existe un
r\'eel $M$ tel que pour tout $ x=(x_1, \ldots ,x_n)  \in H$, on
ait $\sqrt{  x_1^2 + \cdots + x_n^2 } < M$.
\end{defon}


\begin{remar} Soit $x=(x_1, \ldots ,x_n) \in {\R}^n$ et $r$ un r\'eel positif. Alors
$B(x,r)$ est un ouvert de ${\R}^n$. On appelle cet ensemble la
boule ouverte de centre $x$ et de rayon $r$.
\end{remar}

Soit $a=(a_1, \ldots ,a_n)  \in {\R}^n$ et  $r$ r\'eel positif.
D\'esignons par~:
$$\tilde{B}(a,r) = \{  x=(x_1,\ldots, x_n) \in  {\R}^n    \; ;   \;
 {\rm max}\{ \mid x_1 - a_1 \mid , \ldots , \mid x_n - a_n \mid  \} < r   \} \; .$$
Pour $n=2$, si $A$ d\'esigne le point de coordonnn\'ees $a=(a_1,a_2)$, $\tilde{B}(a,r)$
s'identifie au carr\'e de centre $a$ dont la longueur des cot\'es est $2r$. \\

Nous avons~:
$$ B(a,r) \subset \tilde{B}(a,r) \subset  B(a,\sqrt{n} \, r) \subset \tilde{B}(a,\sqrt{n} \, r) \; .$$

 L'ensemble ${\R}^n$ des $n$-uplets de r\'eels est muni d'une addition, d'une soustraction et d'une multiplication par les r\'eels. Soit~:
 $$x=(x_1,\ldots, x_n) \quad ,   \quad x=(y_1,\ldots, y_n)  \in  {\R}^n  \quad {\rm  et } \quad
\lambda \in {\R}$$
\begin{itemize}
\item la somme de $x$ et $y$ est le n-uplet not\'e $x+y$ d\'efini par~:
$$ x+ y = (x_1+y_1, \ldots ,x_n+y_n) \; , $$
\item la diff\'erence  de $x$ par $y$ est le n-uplet not\'e $x-y$ d\'efini par~:
$$ x - y = (x_1-y_1, \ldots ,x_n-y_n) \; , $$
\item le produit  de $x$ par $\lambda$ est le n-uplet not\'e $\lambda x$ d\'efini par~:
$$ \lambda x  = ( \lambda x_1+y_1, \ldots , \lambda x_n  )\; .$$
\end{itemize}
On note $0 \in {\R}^n$ le n-uplet $(0,\ldots,0)$.  \\

On peut v\'erifier que pour tout $x$,$y$,$z \in {\R}^n$ et
$\lambda,\mu \in {\R}$, on a~:
$$ \begin{array}{l}(x+y)+z = (x+y)+z \; , \\ \lambda(\mu x)= (\lambda \mu) x \; , \\
\lambda (x+y) = \lambda x + \lambda y \; , \\
(\lambda + \mu ) x = \lambda x + \mu x \; , \\x -x =0 \; .

\end{array}$$

\begin{remar} L'intersection et la r\'eunion de deux ouverts de ${\R}^n$
sont des ouverts. De m\^eme, l'intersection et la r\'eunion de
deux ferm\'es de ${\R}^n$ sont  des ferm\'es et l'intersection et
la r\'eunion de deux sous-ensembles born\'es
 de ${\R}^n$ sont  born\'es.
\end{remar}





\subsection{Fonctions num\'eriques :  d\'efinitions et  exemples}
 On appelle fonction num\'erique \`a $n$ variables une fonction $f : U \rightarrow {\R}$
d'un sous-ensemble $U$ de ${\R}^n$ vers l'ensemble des nombres r\'eels.\\

{\noindent} {\bf Exemple} :  Consid\'erons la fonction~:
$$ g :{\R}^2 \rightarrow {\R} \quad : \quad x= (x_1,x_2) \mapsto \frac{ \sqrt{x_1}}{\sqrt{x_2}} \; .$$
Son domaine de d\'efinition est~:
$${\cal D}_g = \{ x= (x_1,x_2)  \quad  ; \quad x_1\geq 0 \; {\rm et} \; x_2 >0 \}\; .$$
 Consid\'erons la fonction~:
$$ h :{\R}^2 \rightarrow {\R} \quad : \quad x= (x_1,x_2) \mapsto \frac{ x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2}\; .$$
Son domaine de d\'efinition est~:
$${\cal D}_g = \{ x= (x_1,x_2)  \quad  ; \quad x_1 \neq  0 \; {\rm ou} \; x_2\neq 0 \}$$
qui s'identifie  \`a la r\'eunion des axes de coordonn\'ees.\\

Consid\'erons deux fonctions $f  :  U \rightarrow {\R}$,
$g  :  U \rightarrow {\R}$, et un r\'eel $\lambda$.  \\

On appelle somme de $f$ et $g$  la fonction not\'ee $f+g  :  U
\rightarrow {\R}$ d\'efinie pour tout $x = (x_1, \ldots ,x_n) \in
U$ par~:
$$
(f+g)(x_1, \ldots ,x_n) := (f(x_1, \ldots ,x_n) + g(x_1, \ldots
,x_n) \; .$$ On appelle produit de $f$ par $g$  la fonction
not\'ee $fg  :  U \rightarrow {\R}$ d\'efinie pour tout $x = (x_1,
\ldots ,x_n) \in U$ par~:

$$
(fg)(x_1, \ldots ,x_n) := f(x_1, \ldots ,x_n)   g(x_1, \ldots ,x_n) \; .$$
Les fonctions $f+g$ et $fg$ sont d\'efinies en tout point o\`u $f$ et  $g$ le sont.
Les domaines de d\'efinitions de $f+g$ et $fg$ sont  donc ${\cal D}_f \cap {\cal D}_g$
l'intersection du domaine de  d\'efinition  de $f$ et du domaine de  d\'efinition  de $g$.\\

On appelle quotient  de $f$ par $g$  la fonction not\'ee $
\displaystyle \frac{f}{g}   :  U \rightarrow {\R}$ d\'efinie pour
tout $x = (x_1, \ldots ,x_n) \in U$ par~:

$$
\frac{f}{g} (x_1, \ldots ,x_n) = \frac{f(x_1, \ldots ,x_n)  }{ g(x_1, \ldots ,x_n)}\; .$$
La fonction   $ \displaystyle
\frac{f}{g} $ est    d\'efinie  en tout point o\`u $f$ et  $g$   sont d\'efinies et o\`u $g$ ne s'annule
pas.
$$ {\cal D}_{f/g} =  \{ x \in {\cal D}_g \cap {\cal D}_f \quad ; \quad g(x) \neq 0 \} $$
 On appelle produit de $f$ par $\lambda \in {\R}$  la fonction not\'ee $\lambda f  :  U \rightarrow {\R}$ d\'efinie pour tout $x =
(x_1, \ldots ,x_n) \in U$ par~:
$$
( \lambda f )(x_1, \ldots ,x_n) =  \lambda f(x_1, \ldots ,x_n)  \; . $$
Le domaine de d\'efinition de $\lambda f  $ co\"{\i}ncide avec celui de $f$.\\

\noindent {\bf Exemple}
Soient $f$,$g$ les fonctions num\'eriques~:
$$f:  {\R}^2 \rightarrow {\R} \quad : \quad (x_1,x_2) \mapsto x_1+x_2-x_1^2 \; , $$
$$g: {\R}^2 \rightarrow {\R} \quad : \quad (x_1,x_2) \mapsto 2x_1^2+x_2^2 \; .$$
La fonction $\displaystyle \frac{f+g}{g}$ est la fonction~:
$${\R}^2 \rightarrow {\R} \quad :\quad (x_1,x_2) \mapsto \frac{x_1^2+x_2^2+x_1+x_2}{ 2x_1^2+x_2^2}\; .$$
Montrer que cette fonction est d\'efinie sur ${\R}^2$.

\newtheorem{defnu}[subsubsection]{D\'efinition (norme usuelle)}
\begin{defnu} Nous appelons norme usuelle de $ {\R}^n $ l'application de  ${\R}^n$
vers l'ensemble $ {\R}^+ $ des r\'eels positifs d\'efinie par~:
$$ {\R}^n  \rightarrow {\R}^+  \quad : \quad x= (x_1, \ldots ,x_n)  \mapsto
\mid \mid x \mid \mid = \sqrt{x_1^2 + \cdots +x_n^2}  \; .$$
\end{defnu}

Avec cette d\'efinition si
 $a=(a_1, \ldots ,a_n)  \in {\R}^n$  et  si est un $r$ r\'eel positif.

$$B(a,r)= \{ x=(x_1, \ldots ,x_n) \in {\R}^n \; ; \; \mid \mid x -a \mid \mid <r\} \; .$$
En effet, par d\'efinition de la soustraction dans ${\R}^n$~:
$$  \mid \mid x -a \mid \mid = \sqrt{(x_1 - a_1)^2 + \cdots + (x_n - a_n)^2} $$
qui n'est d'ailleurs rien d'autre que la distance de $x$ \`a $a$.\\

Pour tout $x$, $ y\in  {\R}^n$ et tout $\lambda \in {\R}$, on peut
montrer~:

$$\left\{  \begin{array}{l} \mid \mid x+y \mid \mid \leq  \mid \mid x \mid \mid +  \mid \mid y \mid \mid \,   , \\
\mid \mid \lambda x  \mid \mid  =  \mid \lambda \mid\,  \mid \mid x \mid \mid \, ,
\\ \mid\mid x \mid \mid = 0 \quad {\rm si \; et \; seulement \; si} \quad x =0  \; .
\end{array} \right. $$


Consid\'erons la fonction num\'erique d'une seule variable~:
$$ f : {\R} \rightarrow {\R}  \quad :\quad x \mapsto f(x) = \frac{1 }{2}x^{17}+5x-4$$
Cette fonction est d\'efinie sur  ${\R }$. C'est une fonction
polyn\^omiale d'une variable de degr\'e $17$.

\newtheorem{deffp1}[subsubsection]{D\'efinition (fonction polyn\^omiale d'une variable)}
\begin{deffp1} Soit $m+1$ r\'eels \\
$a_0, a_1, \ldots ,a_m$ tels que
$a_0 \neq 0$. On appelle
 fonction polyn\^omiale d'une variable de degr\'e $m$   la fonction~:
$$ f : {\R} \rightarrow {\R}  \quad :\quad x \mapsto f(x) =  a_0x^m + a_1x^{m-1} + \cdots +a_0 \; .$$
\end{deffp1}

Consid\'erons la fonction num\'erique de deux variables~:
$$ f : {\R}^2 \rightarrow {\R}  \quad :\quad x= (x_1,x_ 2) \mapsto f(x) =
 \frac{2 }{3}x_1^{12}x_2^5+5x_1^3x_2^{7}-4 \; .$$
Cette fonction est d\'efinie sur  ${\R }^2$. C'est une fonction
polyn\^omiale de deux variables.

 \newtheorem{deffpn}[subsubsection]{D\'efinition (fonction polyn\^omiale de $n$ variables)}
\begin{deffpn} Soit $I$ un sous-ensemble fini de n-uplets d'entiers naturels. Donnons nous
pour chaque \'el\'ement  $(k_1, \ldots, k_n)$ de $I$ un r\'eel not\'e $a_{k_1, \ldots, k_n}$.
La fonction~:
$$f : {\R}^n \rightarrow {\R}  \quad :\quad x =( x_1, \ldots , x_n)  \mapsto f(x) =
\sum_{k_1, \ldots, k_n \in I} a_{k_1, \ldots, k_n} x_1^{k_1} \ldots  x_n^{k_n} $$
 est appel\'ee  fonction polyn\^omiale de $n$ variables.
\end{deffpn}

On remarque que la somme et le produit de deux fonctions polyn\^omiales de $n$ variables
est une fonction polyn\^omiale de $n$ variables, de m\^eme que le produit d'une fonction
polyn\^omiale  de $n$ variables par un r\'eel.\\

 \newtheorem{deffr}[subsubsection]{D\'efinition (fonction rationelle de $n$ variables)}
\begin{deffr} On appelle fonction rationelle de $n$ variables le quotient de deux fonctions
polyn\^omiales de $n$ variables
\end{deffr}

\noindent {\bf Exemple} La fonction~:
$$ h : {\R}^2 \rightarrow {\R} \quad : \quad x= (x_1,x_2) \mapsto h(x_1,x_2) =
\frac{x_1^5 x_2 +x_1x_2^3}{x_1^3x_2^6 + x_1 +2 } $$
est une fonction rationelle de deux variables. Elle  est d\'efinie sur~:
$$   \{ (x_1,x_2) \in {\R}^2 \quad ; \quad x_1^3 x_2^6 + x_1 +2   \neq 0 \}\; . $$
Cet ensemble n 'est pas du tout \'evident \`a repr\'esenter  g\'eom\'etriquent. \\

On remarque que la somme,   le produit et le quotient  de deux fonctions rationelles de $n$ variables
est une fonction rationelle de $n$ variables, de m\^eme que le produit d'une fonction
rationelle  de $n$ variables par un r\'eel.

\subsection{Fonctions num\'eriques : limite et continuit\'e}


\newtheorem{defpa}[subsubsection]{D\'efinition (point adh\'erent)}
\begin{defpa} Soit $A$ un sous-ensemble de ${\R}^n$. Un point   $a= (a_1, \ldots ,a_n) \in {\R}^n$
est dit adh\'erent \`a $A$ si pour tout r\'eel strictement positif, $B(a,r)$ rencontre $A$.
\end{defpa}

 \noindent {\bf Exemple avec $n=1$ :} Le r\'eel $u$ est adh\'erent \`a $A= ]u,v[ \subset {\R}$.
En effet, pour tout r\'eel strictement positif $r$, $B(u,r)=]u-r,\, u+r[$  rencontre $]u,\, v[$.\\

 \noindent {\bf Exemple avec $n=2$ :} Le point $(2,0)$ est adh\'erent au sous-ensemble~:
$$ A = \{ (x_1,x_2) \in {\R}^2 \quad ; \quad x_2 > 0\} \; .$$
En effet, il est clair que la boule $B((2,0),r)$ qui est le disque de centre $(2,0)$ et de rayon $r$
rencontre $A$ pour tout $r$ r\'eel strictement positif. Par contre le point $(2,-1)$ n'est pas adh\'erent
\`a $A$.\\

\begin{remar}Un point de $A$ est toujours adh\'erent \`a $A$.
\end{remar}

\newtheorem{defl}[subsubsection]{D\'efinition (limite)}
\begin{defl} Soit $f : A \rightarrow {\R}$ une fonction d\'efinie sur un ensemble
$A$ de ${\R}^n$. Soit $a= (a_1, \ldots ,a_n) \in {\R}^n$
 adh\'erent \`a $A$ et $l \in {\R}$. On dit que $f$ tend vers $l$ quand $x$ tend vers
$a$, ou encore que $f$ a pour limite $l$  quand $x$ tend vers $a$
si '' f est proche de $l$ quand $x$ est proche de $a$'',
c'est-\`a-dire~: si pour tout r\'eel   $\epsilon > 0$, il existe
un r\'eel $\eta >0$ tel que
$$ x = (x_1, \ldots ,x_n) \in B(a,\eta) \quad {\rm et} \quad x \in A
\quad {\rm implique} \quad \mid f(x) - l \mid < \epsilon \; .$$
Si cette limite existe, elle est unique. Nous la notons~:
$$\lim_{x \rightarrow a} f(x) = l \; .$$
\end{defl}

\noindent {\bf Exemple} $f : {\R}^2 \rightarrow {\R} \quad : \quad
(x_1,x_2) \mapsto x_1$. Le point $a=(17,2)$ est adh\'erent \`a
${\R}^2$, car c'est un point de ${\R}^2$. Nous avons~:
$$ \lim_{(x_1,x_2) \rightarrow (17,2)} f(x_1,x_2) = f(17,2) =  17 \; .$$
En effet, soit $ \epsilon >0$.  Rappelons que~:
$$ B( (17,2), \eta ) = \{  (x_1,x_2) \in {\R}^2 \; ; \; \sqrt{ (x_1 - 17)^2 + (x_2 -  2)^2 }< \eta  \}\; . $$
Nous devons montrer que~:
tout r\'eel   $\epsilon > 0$, il existe un r\'eel $\eta >0$ tel que
$$  \sqrt{ (x_1 - 17)^2 + (x_2 -  2)^2 }< \eta    \quad {\rm implique} \quad \mid x_1 -17 \mid < \epsilon \; .$$
Il suffit de prendre $ \eta = \epsilon $, puisque pour tout $(x_1,x_2)$~:
$$\mid x_1 - 17 \mid \leq \sqrt{(x_1- 17)^2 + (x_2 -  2)^2} \quad .$$

Plus g\'en\'eralement, on montre de m\^eme que pour tout
$a=(a_1,a_2) \in {\R}^2$, on a~:
$$ \lim_{(x_1,x_2) \rightarrow (a_1,a_2) } f(x_1,x_2) = f(a_1,a_2)= a_1 \quad .$$

\noindent{\bf Op\'erations sur les limites :} Soient $f, g  :A
\rightarrow {\R}$ deux fonctions d\'efinies sur un ensemble $A$ de
${\R}^n$. Soit $a= (a_1, \ldots ,a_n) \in {\R}^n$
 adh\'erent \`a $A$. On suppose que $ \displaystyle \lim_{x \rightarrow a} f(x) = l'$, $\lim_{x \rightarrow a} g(x) = l''$.
Nous avons~:
 \begin{itemize}
 \item[i)]  $\displaystyle  \lim_{x \rightarrow a} (f+g)(x) $  existe et vaut $l'+l''$,
 \item[ii)]  $\displaystyle  \lim_{x \rightarrow a} (\lambda f)(x) $  existe et vaut $\lambda l'$,
\item[iii)]  $\displaystyle   \lim_{x \rightarrow a} (\lambda
f)(x) $  existe et vaut $\lambda l'$ o\`u $\lambda \in {\R}$.
 \end{itemize}
Si de plus, $g$ est non nulle sur $A$ et   $l'' \neq 0$, alors $\displaystyle  \lim_{x \rightarrow a} (f/g)(x) $  existe et vaut $l'/l''$.\\

Donnons une propri\'et\'e utile pour calculer des limites.

\begin{proposition} Soient $f,g,h :A \rightarrow {\R}$ trois fonctions d\'efinies sur un ensemble
$A$ de ${\R}^n$. Soit $a= (a_1, \ldots ,a_n) \in {\R}^n$
adh\'erent \`a $A$. Supposons qu'il existe un r\'eel $r>0$ tel que
si $x$ appartient \`a $B(a,r)$, on ait~:
$$ f(x) \geq g(x) \geq h(x) \; .$$
Supposons alors que $\displaystyle  \lim_{x \rightarrow a} f(x) =\lim_{x \rightarrow a} h(x)  = l$, alors
 $\displaystyle  \lim_{x \rightarrow a} g(x)$ existe et vaut $l$.

\end{proposition}




\begin{remar} Soit $f : A \rightarrow {\R}$ une fonction d\'efinie sur un ensemble
$A$ de ${\R}^n$. Si $a= (a_1, \ldots ,a_n) \in {\R}^n$ et
$\displaystyle  \lim_{x \rightarrow a} f(x) = l$, alors $l=f(a)$.
\end{remar}

\newtheorem{defc}[subsubsection]{D\'efinition (continuit\'e)}
\begin{defc} Soit $f : A \rightarrow {\R}$ une fonction d\'efinie sur un ensemble
$A$ de ${\R}^n$. Soit $a= (a_1, \ldots ,a_n) \in A$
  On dit que $f$ est continue en $a$ si $\displaystyle  \lim_{x \rightarrow a} f(x)$ existe.
Comme $a \in A$, on a alors~:   $\displaystyle  \lim_{x \rightarrow a} f(x) = f(a) $.
On dit que $f$ est continue si $f$ est continue en tout point de $A$.
\end{defc}

\noindent{ \bf Op\'erations sur les fonctions continues :} Soient
$f, g  :A \rightarrow {\R}$ deux fonctions d\'efinies sur un
ensemble $A$ de ${\R}^n$.   Supposons que $f$ et $g$ sont
continues en un point $a= (a_1, \ldots ,a_n) \in A$. Alors les
fonctions $f+g$, $fg$ et $\lambda f$ (o\`u $\lambda \in {\R}$)
sont continues en $a$. Si de plus $g$ est non nul sur $A$, la
fonction $f/g$ est continue en $a$. Il en est de m\^eme si on
remplace continue en $a$ par continue.

\begin{proposition} \label{pcfpfr} Une fonction polynomiale de ${\R}^n$ vers ${\R}$ est continue. Une fonction
rationelle est continue sur son domaine de d\'efinition.
\end{proposition}

 \noindent Id\'ee de la preuve : On montre comme dans l'exemple pr\'ec\'edent
que les fonctions coordonn\'ees ${\R}^n \rightarrow {\R} \; : \;
(x_1 , \ldots ,x_n) \mapsto x_j$ sont continues. On en d\'eduit
que les fonctions polynomiales sont continues, car elles
s'obtiennent comme
produit et sommes finies de fonctions coordonn\'ees. \\

 \noindent {\bf Exemple :} La fonction~:
 $$ \displaystyle f : {\R}^2 \rightarrow {\R}
\quad : \quad (x_1,x_2) \mapsto f(x_1,x_2) = x_1^2 + x_1x_2 + \frac{1}{2}x_2^2$$
 est continue car polynomiale. En particulier,
$$\lim_{(x_1,x_2) \rightarrow (3,2)} f(x_1,x_2) = f(3,2) =  17 \; .$$
Consid\'erons la fonction rationelle~:
$$ g : {\R}^2 \rightarrow {\R}
\quad : \quad (x_1,x_2) \mapsto g(x_1,x_2) =  \frac{\sqrt{x_1}}{\sqrt{x_2}} \; .$$
Son domaine de d\'efinition est~:
$$D= \{ (x_1,x_2) \in {\R}^2 ; x_1\geq 0\quad {\rm  et} \quad  x_2 > 0 \} \; .$$
 Consid\'erons
la fonction
$$h :  D \rightarrow {\R} \; : \; (x_1,x_2) \mapsto h(x_1,x_2) =  \frac{\sqrt{x_1}}{\sqrt{x_2}} \; .$$
La propostion \ref{pcfpfr} signifie que $h$ est continue.  En particulier,
$$\lim_{(x_1,x_2) \rightarrow (3,2)} h(x_1,x_2) =  \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \; .$$

\begin{proposition} Soit $f : A \rightarrow {\R}$ une fonction d\'efinie sur un ensemble
$A$ de ${\R}^n$. Soit $B \subset A$, on appelle restriction de $f$
\`a $B$ l'application not\'ee $f_{\mid B}$~:
$$f_{\mid B} :  B \rightarrow {\R} \quad : \quad x \mapsto f(x) \; .$$
Alors si $f$ est continue, la restriction de  $f$ \`a $B$ est continue.
\end{proposition}

 \noindent {\bf Exemple :} Consid\'erons la fonction $f$~:
 $$f   : {\R}^2 \rightarrow {\R}
\quad : \quad (x_1,x_2) \mapsto f(x_1,x_2) = x_2 \; .$$
 Cette fonction  est continue car polynomiale.
La restriction de cette fonction \`a $ {\cal C} = \{(x_1,x_2)  \in
{\R}^2 \; ; \; x_1 ^2 + x_2^2 = 1 \}$~:
 $$ {\cal C}  \rightarrow {\R}
\quad : \quad (x_1,x_2) \mapsto f_{\mid {\cal C} }(x_1,x_2) = x_2$$
est donc continue.\\



\noindent{\bf Composition de limites et de fonctions continues~:} \\
Soit $f : A \rightarrow {\R}$ une fonction d\'efinie sur un
ensemble $A$ de ${\R}^n$. Soit $g : B \rightarrow {\R}$ une
fonction d\'efinie sur un ensemble $B$ de ${\R}$. Pour composer
$g$ par $f$,  il faut et il suffit   que pour $x \in A$, $f(x) \in
B$. On peut alors d\'efinir~:
$$g \circ f :  A  \rightarrow {\R} \; : \; x \mapsto g(f(x)) \; .$$
\begin{itemize}
\item[i)] Supposons que $a \in {\R}^n$ est adh\'erent \`a $A$ et
que $\displaystyle  \lim_{x \rightarrow a} f(x) =b  $. Alors, $b$
est adh\'erent \`a $B$. Supposons aussi que  $\displaystyle
\lim_{y \rightarrow b} g(y) = l$. Alors~:
 $$\displaystyle   \lim_{x \rightarrow a} (g \circ f )(x) \quad {\rm  existe \;  et \; vaut}\quad  l \; . $$
\item[ii)] Si $f$ est continue en $a \in A$ et si $g$ est continue en $f(a)$, alors $g\circ f$
est continue en $a$.
\item[iii)] Si $f$ et $g$ sont continues, $g \circ f$ est continue.
\end{itemize}


 \noindent {\bf Exemple :} Consid\'erons la fonction $f$~:
 $$f   : {\R}^2 \rightarrow {\R}
\quad : \quad (x_1,x_2) \mapsto f(x_1,x_2) =  \sqrt{2x_1^2+3x_2^2} \; .$$
Cette fonction s'obtient par compos\'ee de la fonction polynomiale~:
$${\R}^2 \rightarrow {\R}
\quad : \quad (x_1,x_2) \mapsto  ) = 2x_1^2+3x_2^2$$
et de la fonction racine~:
 $${\R}^+ \rightarrow {\R}
\quad : \quad x \mapsto    = \sqrt{x} \; .$$
 La premi\`ere fonction est continue car polynomiale. En revenant 
 \`a la d\'efinition des limites, on peut montrer
que la fonction racine est continue (nous l'admettrons).


G\'en\'eralisons quelque peu ce principe de composition.
Consid\'erons  $p$ fonctions $f_1, \ldots ,f_p  : A \rightarrow
{\R}$  d\'efinies sur un ensemble $A$ de ${\R}^n$. Ces fonctions
permettent de d\'efinir une application~:
$$   f : A \rightarrow {\R}^p \; : \; x\mapsto (f_1(x), \ldots f_p(x)) \; .$$
Soit $g : B \rightarrow {\R}$ une fonction d\'efinie sur un
ensemble $B \subset {\R}^p$. Pour composer $g$ par $f$, il suffit
que   pour $x \in A$~: $f(x) \in B$. La fonction $g \circ f$ est
alors d\'efinie~:
$$g \circ f :  A  \rightarrow {\R} \; : \; x \mapsto g(f_1(x),\ldots ,f_p(x))\; .$$

\begin{itemize}
\item[i)] Supposons que $a \in {\R }^n$ est adh\'erent \`a $A$ et
que pour tout entier $1 \leq j \leq p$, on ait~:  $\displaystyle
\lim_{x \rightarrow a} f_j(x) =b_j $. Alors, $b= (b_1, \ldots
,b_p) $ est adh\'erent \`a $B$. Supposons aussi que  $\lim_{y
\rightarrow b} g(y) = l$. Alors, $ \displaystyle  \lim_{x
\rightarrow a} (g \circ f )(x) $ existe et vaut $l$. \item[i))] Si
$f$ est continue en $a \in A$ et si $g$ est continue en $f(a)$,
alors $g\circ f$ esr continue en $a$. \item[i)))] Si $f$ et $g$
sont continues, $g \circ f$ est continue.
\end{itemize}



% \begin{thebibliography}{99}



%\bibitem[L-M]{L-M} F. Liret, D. Martinais, Math\'ematiques pour le DEUG, Analyse de
%$2^e$ ann\'ee, Dunod, 1998.

%\bibitem[G]{G} Xavier Gourdon, Les maths en t\^ete, ANALYSE, Ellipses, 1994.


%\end{thebibliography}





\end{document}
