Licence de Sciences Économiques Mathématiques L1 Année 2004-2005

12 novembre 2004

Table des matières

I Généralités sur les ensembles et les applications 3

II Fonctions numériques 5 1 Sous-ensembles de ℝ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Ouverts de ℝ^{2} et ℝ^{n} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3 Fonctions numériques : définitions et exemples . . . . . . . . . 9 4 Fonctions numériques : limite et continuité . . . . . . . . . . . 13 5 Trois résultats sur les fonctions continues . . . . . . . . . . . . 17

III Dérivées partielles d’une fonction numérique 21 1 Dérivée d’une fonction numérique d’une variable . . . . . . . . 21 2 Dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

IV Fonctions usuelles 21 1 Fonctions exponentielle et logarithme . . . . . . . . . . . . . . 21 2 Fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

I Généralités sur les ensembles et les applications

Définition 0.1 Un ensemble est une collection d’objets appelés éléments de l’ensemble.

a ∈ A signifie que a est un élément de A. {a, b, c} désigne l’ensemble formé des éléments a, b et c. ∅ désigne l’ensemble sans élément.

Définition 0.2 Soit A un ensemble. Un sous-ensemble de A est un ensemble fomé d’éléments de A.

B ⊂ A signifie que B est un sous-ensemble de A. On dit aussi que B est contenu dans A.

Opérations : Soit B et C deux sous-ensembles de A.

L’intersection de B et C, notée B ∩ C est le sous-ensemble de A formé des élements de A qui sont dans B et dans C :

B ∩ C = {a ∈ A ; a ∈ B et a ∈ C} ,

lire : ”l’ensemble des éléments a de A tels que a appartient à B et a appartient à C”.

La réunion de B et C, notée B ∪ C est le sous-ensemble de A formé des élements de A qui sont dans B ou dans C :

B ∪ C = {a ∈ A ; a ∈ B ou a ∈ C} ,

lire : ”l’ensemble des éléments a de A tels que a appartient à B ou a appartient à C”.

Le complémentaire de B dans A, noté A − B, est l’ensemble des éléments de A qui ne sont pas dans B :

A − B = {a ∈ A ; a ∉ B} ,

lire : ”l’ensemble des éléments a de A tels que a n’appartient pas à B”.

Définition (application) 0.3 Une application f : A → B est un procédé qui associe à tout élément a de A un unique élément b de B noté f(a) et appelé image de a par f.

On appelle identité de l’ensemble A et on note Id_{A} l’application de A vers A définie par Id_{A}(a) = a :

Id_{A} : A → A : a ↦ (Id_{A})(a) = a .

Définition (composition des applications) 0.4 Soit f : A → B et g : B → C deux applications. On appelle composée de g par f et on note g ∘ f l’application de A vers C définie par (g ∘ f)(a) = g(f(a)) pour tout a dans A :

g ∘ f : A → C : a ↦ (g ∘ f)(a) = g(f(a)) .

Définition (application injective, surjective et bijective) 0.5 Soit f : A → B une application. Si pour tout élément b de B l’équation :

f(a) = b

admet – zéro ou une solution, on dit que f est injective,

– une ou plus de solutions, on dit que f est surjective,

– exactement une solution, on dit que f est bijective.

Définition 0.6 Soit f : A → B une application bijective. On appelle inverse de f, l’application notée f^{−1} : B → A définie pour tout élément b de B par :

f^{−1}(b) est l’unique élément a de A solution de f(a) = b.

Si f : A → B est une application bijective, on peut vérifier :

f ∘ f^{−1} = Id_{B} et f^{−1} ∘ f = Id_{A} .

Définition (fonction) 0.7 Une fonction f : A → B est un procédé qui associe à tout élément a de A zéro ou un élément b de B noté alors f(a) et appelé image de a. Le domaine de définition de la fonction f est l’ensemble des éléments de A qui ont une image par f. On note cet ensemble D_{f}.

Soit f : A → B et g : B → C deux fonctions, g∘f désignera la fonction de A vers C définie sur l’ensemble des éléments a de D_{f} tels que f(a) appartienne à D_{g} par (g ∘ f)(a) = g(f(a)). Ainsi, par définition :

D_{g∘f} = {a ∈ D_{f} ; f(a) ∈ D_{g}} .

II Fonctions numériques

1 Sous-ensembles de ℝ

Soit a et b deux nombres réels avec a < b. Il y a neuf types d’intervalle de ℝ :

\begin{aligned}]a, b[ & = & \{x ∈ ℝ ; a < x < b\} \\ ]a, b] & = & \{x ∈ ℝ ; a < x ≤ b\} \\ [a, b[ & = & \{x ∈ ℝ ; a ≤ x < b\} \\ [a, b] & = & \{x ∈ ℝ ; a ≤ x ≤ b\} \\ ] − ∞, b[ & = & \{x ∈ ℝ ; x < b\} \\ ] − ∞, b] & = & \{x ∈ ℝ ; x ≤ b\} \\ ]a, ∞[ & = & \{x ∈ ℝ ; a < x\} \\ [a, ∞[ & = & \{x ∈ ℝ ; a ≤ x\} \\ ] − ∞, ∞[ & = & ℝ \end{aligned}

Considérons la fonction valeur absolue :

ℝ → ℝ^{+} : x ↦| x | = \{ \begin{matrix}x & si x ≥ 0 , \\ −x & sinon . \end{matrix}

Pour tout x et y dans ℝ :

| x + y |≤| x | + | y | ,

| xy |=| x || y | ,

| x |= 0 si et seulement si x = 0 .

Rappelons que pour ϵ réel positif et a réel :

\{ \begin{matrix}| x − a |≤ ϵ & équivaut à & x ∈]a − ϵ, a + ϵ[ , \\ & équivaut à & a − ϵ < x < a + ϵ . \end{matrix}

Définition (ouvert, fermé, borné) 1.1 Un sous-ensemble U de ℝ est dit ouvert si pour tout u ∈ U, il existe ϵ tel que ]u − ϵ, u + ϵ[ soit contenu dans U (attention que ϵ dépend du u pris dans U). Un sous-ensemble ℝ est dit fermé si son complémenatire dans ℝ est ouvert. Un sous-ensemble H de ℝ est dit borné s’il existe un réel M tel que pour tout h ∈ H, on ait | h |≤ M.

Remarque 1.2 Soit a et b deux nombres réels avec a < b. Les intervalles ]a, b[, ]−∞, a[, ]b, ∞[ sont ouverts. Les intervalles [a, b], ]−∞, a], [b, ∞[ sont fermés.

Remarque 1.3 L’intersection et la réunion de deux ouverts de ℝ sont des ouverts. De même, l’intersection et la réunion de deux fermés de ℝ sont des fermés et l’intersection et la réunion de deux sous-ensembles bornés de ℝ sont bornés.

2 Ouverts de ℝ^{2} et ℝ^{n}

Revenons aux intervalles de ℝ. Soit D une droite. Fixons un repère de D. L’ensemble des nombres réels ℝ s’identifie à la droite D par l’application qui à un réel x associe le point M de D d’abscisse x.

Soit x, a deux réels ; soit M le point de D d’abscisse x et A celui d’abscisse a. La longueur du segment AM est | x − a |. Soit de plus, r un réel positif. L’ensemble :

B(a, r) := {x ∈ ℝ ; | x − a |< r} =]a − r, a + r[

s’identifie donc à l’ensemble M des points de D qui sont à une distance de A strictement inférieur à r. Comme \sqrt{(x − a)^{2}} =| x − a |, nous avons aussi :

B(a, r) = \{x ∈ ℝ ; \sqrt{(x − a)^{2}} < r\} .

Considérons l’ensemble ℝ^{2} des couples de nombres réels. Soit P un plan. Fixons un repère de P. L’ensemble ℝ^{2} s’identifie alors au plan P par l’application qui au couple (x_{1}, x_{2}) ∈ ℝ^{2} associe le point M de P de coordonnées (x_{1}, x_{2}) dans le repère de P.

Soit x = (x_{1}, x_{2}) ∈ ℝ^{2}, a = (a_{1}, a_{2}) ∈ ℝ^{2}. Soit M le point de P de coordonnées x = (x_{1}, x_{2}) et A celui de coordonnées a = (a_{1}, a_{2}). La longueur du segment AM est :

\sqrt{(x_{1} − a_{1})^{2} + (x_{2} − a_{2})^{2}} .

Soit de plus, r un réel positif. Notons :

B(a, r) = \{x = (x_{1}, x_{2}) ∈ ℝ^{2} ; \sqrt{(x_{1} − a_{1})^{2} + (x_{2} − a_{2})^{2}} < r\} .

Cet ensemble s’identifie à l’ensemble M des points de P qui sont à une distance de A strictement inférieur à r; c’est à dire au disque de centre a et de rayon r sans son bord.

Considérons l’ensemble ℝ^{3} des triplets de nombres réels. Soit E un espace. Fixons un repère de E. L’ensemble ℝ^{3} s’identifie alors au plan E par l’application qui au couple (x_{1}, x_{2}, x_{3}) ∈ ℝ^{3} associe le point M de E de coordonnées (x_{1}, x_{2}, x_{3}) dans le repère de E.

Soit x = (x_{1}, x_{2}, x_{3}) ∈ ℝ^{3}, a = (a_{1}, a_{2}, a_{3}) ∈ ℝ^{3}. Soit M le point de E de coordonnées x = (x_{1}, x_{2}, x_{3}) et A celui de coordonnées a = (a_{1}, a_{2}, a_{3}). La longueur du segment AM est :

\sqrt{(x_{1} − a_{1})^{2} + (x_{2} − a_{2})^{2} + (x_{3} − a_{3})^{2}}

Soit de plus, r un réel positif. Notons :

B(a, r) = \{x = (x_{1}, x_{2}, x_{3}) ∈ ℝ^{3}; \sqrt{(x_{1} − a_{1})^{2} + (x_{2} − a_{2})^{2} + (x_{3} − a_{3})^{2}} < r\} .

Cet ensemble s’identifie à l’ensemble M des points de E qui sont à une distance de A strictement inférieur à r; c’est à dire à la boule de centre a et de rayon r sans son bord.

Soit n ≥ 1 un entier naturel . Les définitions ci-dessus se généralisent à l’ensemble ℝ^{n} formé des n-uplets de nombres réels.

Définition (distance) 2.1 Soit x = (x_{1}, …, x_{n}), a = (a_{1}, …, a_{n}) ∈ ℝ^{n}. On appelle distance de x à a le nombre réel positif :

\sqrt{∑_{i=1}^{n}(x_{i} − a_{i})^{2}} = \sqrt{(x_{1} − a_{1})^{2} + ⋯ + (x_{n} − a_{n})^{2}} .

et nous notons pour r réel positif :

B(a, r) = \{x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ ℝ^{n} ; \sqrt{∑_{i=1}^{n}(x_{i} − a_{i})^{2}} < r\} .

Définition (ouvert, fermé, borné) 2.2 Un sous-ensemble U de ℝ^{n} est dit ouvert si pour tout u ∈ U, il existe ϵ tel que B(u, ϵ) soit contenu dans U (attention : ϵ dépend du u pris dans U). Un sous-ensemble ℝ^{n} est dit fermé si son complémenatire dans ℝ^{n} est ouvert. Un sous-ensemble H de ℝ^{n} est dit borné s’il existe un réel M tel que pour tout x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ H, on ait \sqrt{x_{1}^{2} + ⋯ + x_{n}^{2}} < M.

Remarque 2.3 Soit x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ ℝ^{n} et r un réel positif. Alors B(x, r) est un ouvert de ℝ^{n}. On appelle cet ensemble la boule ouverte de centre x et de rayon r.

Soit a = (a_{1}, …, a_{n}) ∈ ℝ^{n} et r réel positif. Désignons par :

B̃(a, r) = {x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ ℝ^{n} ; max{| x_{1} − a_{1} |, …, | x_{n} − a_{n} |} < r} .

Pour n = 2, si A désigne le point de coordonnnées a = (a_{1}, a_{2}), B̃(a, r) s’identifie au carré de centre a dont la longueur des cotés est 2r.

Nous avons :

B(a, r) ⊂ B̃(a, r) ⊂ B(a, \sqrt{n} r) ⊂ B̃(a, \sqrt{n} r) .

L’ensemble ℝ^{n} des n-uplets de réels est muni d’une addition, d’une soustraction et d’une multiplication par les réels. Soit :

x = (x_{1}, …, x_{n}) , x = (y_{1}, …, y_{n}) ∈ ℝ^{n} et λ ∈ ℝ

– la somme de x et y est le n-uplet noté x + y défini par :

x + y = (x_{1} + y_{1}, …, x_{n} + y_{n}) ,

– la différence de x par y est le n-uplet noté x − y défini par :

x − y = (x_{1} − y_{1}, …, x_{n} − y_{n}) ,

– le produit de x par λ est le n-uplet noté λx défini par :

λx = (λx_{1} + y_{1}, …, λx_{n}) .

On note 0 ∈ ℝ^{n} le n-uplet (0, …, 0).

On peut vérifier que pour tout x,y,z ∈ ℝ^{n} et λ, μ ∈ ℝ, on a :

(x + y) + z = (x + y) + z ,
λ(μx) = (λμ)x ,
λ(x + y) = λx + λy ,
(λ + μ)x = λx + μx ,
x − x = 0 .

Remarque 2.4 L’intersection et la réunion de deux ouverts de ℝ^{n} sont des ouverts. De même, l’intersection et la réunion de deux fermés de ℝ^{n} sont des fermés et l’intersection et la réunion de deux sous-ensembles bornés de ℝ^{n} sont bornés.

3 Fonctions numériques : définitions et exemples

On appelle fonction numérique à n variables une fonction f : U → ℝ d’un sous-ensemble U de ℝ^{n} vers l’ensemble des nombres réels.

Exemple : Considérons la fonction :

g : ℝ^{2} → ℝ : x = (x_{1}, x_{2}) ↦ \begin{matrix}√ & \overline{x_{1}} \\ √ & \overline{x_{2}} \end{matrix} .

Son domaine de définition est :

D_{g} = {x = (x_{1}, x_{2}) ; x_{1} ≥ 0 et x_{2} > 0} .

Considérons la fonction :

h : ℝ^{2} → ℝ : x = (x_{1}, x_{2}) ↦ \frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}{x_{1}x_{2}} .

Son domaine de définition est :

D_{g} = {x = (x_{1}, x_{2}) ; x_{1} ≠ 0 ou x_{2} ≠ 0}

qui s’identifie à la réunion des axes de coordonnées.

Considérons deux fonctions f : U → ℝ, g : U → ℝ, et un réel λ.

On appelle somme de f et g la fonction notée f + g : U → ℝ définie pour tout x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ U par :

(f + g)(x_{1}, …, x_{n}) := (f(x_{1}, …, x_{n}) + g(x_{1}, …, x_{n}) .

On appelle produit de f par g la fonction notée fg : U → ℝ définie pour tout x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ U par :

(fg)(x_{1}, …, x_{n}) := f(x_{1}, …, x_{n})g(x_{1}, …, x_{n}) .

Les fonctions f + g et fg sont définies en tout point où f et g le sont. Les domaines de définitions de f + g et fg sont donc D_{f} ∩ D_{g} l’intersection du domaine de définition de f et du domaine de définition de g.

On appelle quotient de f par g la fonction notée \frac{f}{g} : U → ℝ définie pour

tout x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ U par :

\frac{f}{g} (x_{1}, …, x_{n}) = \frac{f(x_{1}, …, x_{n})}{g(x_{1}, …, x_{n})} .

La fonction \frac{f}{g} est définie en tout point où f et g sont définies et où g ne

s’annule pas.

D_{f/g} = {x ∈ D_{g} ∩ D_{f} ; g(x) ≠ 0}

On appelle produit de f par λ ∈ ℝ la fonction notée λf : U → ℝ définie pour tout x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ U par :

(λf)(x_{1}, …, x_{n}) = λf(x_{1}, …, x_{n}) .

Le domaine de définition de λf coïncide avec celui de f.

Exemple Soient f,g les fonctions numériques :

f : ℝ^{2} → ℝ : (x_{1}, x_{2}) ↦ x_{1} + x_{2} − x_{1}^{2} ,
g : ℝ^{2} → ℝ : (x_{1}, x_{2}) ↦ 2x_{1}^{2} + x_{2}^{2} .

La fonction \frac{f + g}{g} est la fonction :

ℝ^{2} → ℝ : (x_{1}, x_{2}) ↦ \frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{1} + x_{2}}{2x_{1}^{2} + x_{2}^{2}} .

Montrer que cette fonction est définie sur ℝ^{2}.

Définition (norme usuelle) 3.1 Nous appelons norme usuelle de ℝ^{n} l’application de ℝ^{n} vers l’ensemble ℝ^{+} des réels positifs définie par :

ℝ^{n} → ℝ^{+} : x = (x_{1}, …, x_{n}) ↦|| x ||= \sqrt{x_{1}^{2} + ⋯ + x_{n}^{2}} .

Avec cette définition si a = (a_{1}, …, a_{n}) ∈ ℝ^{n} et si est un r réel positif.

B(a, r) = {x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ ℝ^{n} ; || x − a ||< r} .

En effet, par définition de la soustraction dans ℝ^{n} :

|| x − a ||= \sqrt{(x_{1} − a_{1})^{2} + ⋯ + (x_{n} − a_{n})^{2}}

qui n’est d’ailleurs rien d’autre que la distance de x à a.

Pour tout x, y ∈ ℝ^{n} et tout λ ∈ ℝ, on peut montrer :

|| x + y ||≤|| x || + || y || ,

|| λx ||=| λ | || x || ,

|| x ||= 0 si et seulement si x = 0 .

Considérons la fonction numérique d’une seule variable :

f : ℝ → ℝ : x ↦ f(x) = \frac{1}{2}x^{17} + 5x − 4

Cette fonction est définie sur ℝ. C’est une fonction polynômiale d’une variable de degré 17.

Définition (fonction polynômiale d’une variable) 3.2 Soit m+1 réels a_{0}, a_{1}, …, a_{m} tels que a_{0} ≠ 0. On appelle fonction polynômiale d’une variable de degré m la fonction :

f : ℝ → ℝ : x ↦ f(x) = a_{0}x^{m} + a_{1}x^{m−1} + ⋯ + a_{0} .

Considérons la fonction numérique de deux variables :

f : ℝ^{2} → ℝ : x = (x_{1}, x_{2}) ↦ f(x) = \frac{2}{3}x_{1}^{12}x_{2}^{5} + 5x_{1}^{3}x_{2}^{7} − 4 .

Cette fonction est définie sur ℝ^{2}. C’est une fonction polynômiale de deux variables.

Définition (fonction polynômiale de n variables) 3.3 Soit I un sousensemble fini de n-uplets d’entiers naturels. Donnons nous pour chaque élément (k_{1}, …, k_{n}) de I un réel noté a_{k_{1},...,k_{n}}. La fonction :

f : ℝ^{n} → ℝ : x = (x_{1}, …, x_{n}) ↦ f(x) = ∑_{k_{1},...,k_{n}∈I} a_{k_{1},...,k_{n}}x_{1}^{k_{1}} … x_{n}^{k_{n}}

est appelée fonction polynômiale de n variables.

On remarque que la somme et le produit de deux fonctions polynômiales de n variables est une fonction polynômiale de n variables, de même que le produit d’une fonction polynômiale de n variables par un réel.

Définition (fonction rationelle de n variables) 3.4 On appelle fonction rationelle de n variables le quotient de deux fonctions polynômiales de n variables

Exemple La fonction :

h : ℝ^{2} → ℝ : x = (x_{1}, x_{2}) ↦ h(x_{1}, x_{2}) = \frac{x_{1}^{5}x_{2} + x_{1}x_{2}^{3}}{x_{1}^{3}x_{2}^{6} + x_{1} + 2}

est une fonction rationelle de deux variables. Elle est définie sur :

{(x_{1}, x_{2}) ∈ ℝ^{2} ; x_{1}^{3}x_{2}^{6} + x_{1} + 2 ≠ 0} .

Cet ensemble n ’est pas du tout évident à représenter géométriquent.

On remarque que la somme, le produit et le quotient de deux fonctions rationelles de n variables est une fonction rationelle de n variables, de même que le produit d’une fonction rationelle de n variables par un réel.

4 Fonctions numériques : limite et continuité

Définition (point adhérent) 4.1 Soit A un sous-ensemble de ℝ^{n}. Un point a = (a_{1}, …, a_{n}) ∈ ℝ^{n} est dit adhérent à A si pour tout réel strictement positif, B(a, r) rencontre A.

Exemple avec n = 1 : Le réel u est adhérent à A =]u, v[⊂ ℝ. En effet, pour tout réel strictement positif r, B(u, r) =]u − r, u + r[ rencontre ]u, v[.

Exemple avec n = 2 : Le point (2, 0) est adhérent au sous-ensemble :

A = {(x_{1}, x_{2}) ∈ ℝ^{2} ; x_{2} > 0} .

En effet, il est clair que la boule B((2, 0), r) qui est le disque de centre (2, 0) et de rayon r rencontre A pour tout r réel strictement positif. Par contre le point (2, −1) n’est pas adhérent à A.

Remarque 4.2 Un point de A est toujours adhérent à A.

Définition (limite) 4.3 Soit f : A → ℝ une fonction définie sur un ensemble A de ℝ^{n}. Soit a = (a_{1}, …, a_{n}) ∈ ℝ^{n} adhérent à A et l ∈ ℝ. On dit que f tend vers l quand x tend vers a, ou encore que f a pour limite l quand x tend vers a si ” f est proche de l quand x est proche de a”, c’est-à-dire : si pour tout réel ϵ > 0, il existe un réel η > 0 tel que

x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ B(a, η) et x ∈ A implique | f(x) − l |< ϵ .

Si cette limite existe, elle est unique. Nous la notons :

lim_{x→a} f(x) = l .

Exemple f : ℝ^{2} → ℝ : (x_{1}, x_{2}) ↦ x_{1}. Le point a = (17, 2) est adhérent à ℝ^{2}, car c’est un point de ℝ^{2}. Nous avons :

lim_{(x_{1},x_{2})→(17,2)} f(x_{1}, x_{2}) = f(17, 2) = 17 .

En effet, soit ϵ > 0. Rappelons que :

B((17, 2), η) = \{(x_{1}, x_{2}) ∈ ℝ^{2} ; \sqrt{(x_{1} − 17)^{2} + (x_{2} − 2)^{2}} < η\} .

Nous devons montrer que : tout réel ϵ > 0, il existe un réel η > 0 tel que

\sqrt{(x_{1} − 17)^{2} + (x_{2} − 2)^{2}} < η implique | x_{1} − 17 |< ϵ .

Il suffit de prendre η = ϵ, puisque pour tout (x_{1}, x_{2}) :

| x_{1} − 17 |≤ \sqrt{(x_{1} − 17)^{2} + (x_{2} − 2)^{2}} .

Plus généralement, on montre de même que pour tout a = (a_{1}, a_{2}) ∈ ℝ^{2}, on a :

lim_{(x_{1},x_{2})→(a_{1},a_{2})} f(x_{1}, x_{2}) = f(a_{1}, a_{2}) = a_{1} .

Opérations sur les limites : Soient f, g : A → ℝ deux fonctions définies sur un ensemble A de ℝ^{n}. Soit a = (a_{1}, …, a_{n}) ∈ ℝ^{n} adhérent à A. On suppose que lim_{x→a} f(x) = l′, lim_{x→a} g(x) = l′′. Nous avons :

i) lim_{x→a}(f + g)(x) existe et vaut l′ + l′′,

ii) lim_{x→a}(λf)(x) existe et vaut λl′,

iii) lim_{x→a}(λf)(x) existe et vaut λl′ où λ ∈ ℝ. Si de plus, g est non nulle sur A et l′′ ≠ 0, alors lim_{x→a}(f/g)(x) existe et vaut l′/l′′.

Donnons une propriété utile pour calculer des limites.

Proposition 4.4 Soient f, g, h : A → ℝ trois fonctions définies sur un ensemble A de ℝ^{n}. Soit a = (a_{1}, …, a_{n}) ∈ ℝ^{n} adhérent à A. Supposons qu’il existe un réel r > 0 tel que si x appartient à B(a, r), on ait :

f(x) ≥ g(x) ≥ h(x) .

Supposons alors que lim_{x→a} f(x) = lim_{x→a} h(x) = l, alors lim_{x→a} g(x) existe et vaut l.

Remarque 4.5 Soit f : A → ℝ une fonction définie sur un ensemble A de

ℝ^{n}. Si a = (a_{1}, …, a_{n}) ∈ ℝ^{n} et lim_{x→a} f(x) = l, alors l = f(a).

Définition (continuité) 4.6 Soit f : A → ℝ une fonction définie sur un ensemble A de ℝ^{n}. Soit a = (a_{1}, …, a_{n}) ∈ A On dit que f est continue en a si lim_{x→a} f(x) existe. Comme a ∈ A, on a alors : lim_{x→a} f(x) = f(a). On dit que f est continue si f est continue en tout point de A.

Opérations sur les fonctions continues : Soient f, g : A → ℝ deux fonctions définies sur un ensemble A de ℝ^{n}. Supposons que f et g sont continues en un point a = (a_{1}, …, a_{n}) ∈ A. Alors les fonctions f + g, fg et λf (où λ ∈ ℝ) sont continues en a. Si de plus g est non nul sur A, la fonction f/g est continue en a. Il en est de même si on remplace continue en a par continue.

Proposition 4.7 Une fonction polynomiale de ℝ^{n} vers ℝ est continue. Une fonction rationelle est continue sur son domaine de définition.

Idée de la preuve : On montre comme dans l’exemple précédent que les fonctions coordonnées ℝ^{n} → ℝ : (x_{1}, …, x_{n}) ↦ x_{j} sont continues. On en déduit que les fonctions polynomiales sont continues, car elles s’obtiennent comme produit et sommes finies de fonctions coordonnées.

Exemple : La fonction :

f : ℝ^{2} → ℝ : (x_{1}, x_{2}) ↦ f(x_{1}, x_{2}) = x_{1}^{2} + x_{1}x_{2} + \frac{1}{2}x_{2}^{2}

est continue car polynomiale. En particulier,

lim_{(x_{1},x_{2})→(3,2)} f(x_{1}, x_{2}) = f(3, 2) = 17 .

Considérons la fonction rationelle :

g : ℝ^{2} → ℝ : (x_{1}, x_{2}) ↦ g(x_{1}, x_{2}) = \begin{matrix}√ & \overline{x_{1}} \\ √ & \overline{x_{2}} \end{matrix} .

Son domaine de définition est :

D = {(x_{1}, x_{2}) ∈ ℝ^{2}; x_{1} ≥ 0 et x_{2} > 0} .

Considérons la fonction

h : D → ℝ : (x_{1}, x_{2}) ↦ h(x_{1}, x_{2}) = \begin{matrix}√ & \overline{x_{1}} \\ √ & \overline{x_{2}} \end{matrix} .

La propostion 4.7 signifie que h est continue. En particulier,

lim_{(x_{1},x_{2})→(3,2)} h(x_{1}, x_{2}) = \begin{matrix}√ & \overline{3} \\ √ & \overline{2} \end{matrix} .

Proposition 4.8 Soit f : A → ℝ une fonction définie sur un ensemble A de ℝ^{n}. Soit B ⊂ A, on appelle restriction de f à B l’application notée f_{|B} :

f_{|B} : B → ℝ : x ↦ f(x) .

Alors si f est continue, la restriction de f à B est continue.

Exemple : Considérons la fonction f :

f : ℝ^{2} → ℝ : (x_{1}, x_{2}) ↦ f(x_{1}, x_{2}) = x_{2} .

Cette fonction est continue car polynomiale. La restriction de cette fonction à C = {(x_{1}, x_{2}) ∈ ℝ^{2} ; x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 1} :

C → ℝ : (x_{1}, x_{2}) ↦ f_{|C}(x_{1}, x_{2}) = x_{2}

est donc continue.

Composition de limites et de fonctions continues : Soit f : A → ℝ une fonction définie sur un ensemble A de ℝ^{n}. Soit g : B → ℝ une fonction définie sur un ensemble B de ℝ. Pour composer g par f, il faut et il suffit que pour x ∈ A, f(x) ∈ B. On peut alors définir :

g ∘ f : A → ℝ : x ↦ g(f(x)) .

i) Supposons que a ∈ ℝ^{n} est adhérent à A et que lim_{x→a} f(x) = b. Alors, b est adhérent à B. Supposons aussi que lim_{y→b} g(y) = l. Alors :

lim_{x→a}(g ∘ f)(x) existe et vaut l .

ii) Si f est continue en a ∈ A et si g est continue en f(a), alors g ∘ f est

continue en a. iii) Si f et g sont continues, g ∘ f est continue.

Exemple : Considérons la fonction f :

f : ℝ^{2} → ℝ : (x_{1}, x_{2}) ↦ f(x_{1}, x_{2}) = \sqrt{2x_{1}^{2} + 3x_{2}^{2}} .

Cette fonction s’obtient par composée de la fonction polynomiale :

ℝ^{2} → ℝ : (x_{1}, x_{2}) ↦) = 2x_{1}^{2} + 3x_{2}^{2}

et de la fonction racine :

ℝ^{+} → ℝ : x ↦= \sqrt{x} .

La première fonction est continue car polynomiale. En revenant à la définition des limites, on peut montrer que la fonction racine est continue (nous l’admettrons).

Généralisons quelque peu ce principe de composition. Considérons p fonctions f_{1}, …, f_{p} : A → ℝ définies sur un ensemble A de ℝ^{n}. Ces fonctions permettent de définir une application :

f : A → ℝ^{p} : x ↦ (f_{1}(x), … f_{p}(x)) .

Soit g : B → ℝ une fonction définie sur un ensemble B ⊂ ℝ^{p}. Pour composer g par f, il suffit que pour x ∈ A : f(x) ∈ B. La fonction g ∘ f est alors définie :

g ∘ f : A → ℝ : x ↦ g(f_{1}(x), …, f_{p}(x)) .

i) Supposons que a ∈ ℝ^{n} est adhérent à A et que pour tout entier 1 ≤ j ≤ p, on ait : lim_{x→a} f_{j}(x) = b_{j}. Alors, b = (b_{1}, …, b_{p}) est adhérent à B. Supposons aussi que lim_{y→b} g(y) = l. Alors, lim_{x→a}(g ∘ f)(x) existe et vaut l.

i)) Si f est continue en a ∈ A et si g est continue en f(a), alors g ∘ f esr

continue en a. i))) Si f et g sont continues, g ∘ f est continue.

5 Trois résultats sur les fonctions continues

Proposition 5.1 Soit f une fonction numérique définie et continue sur ℝ^{n}.

1. Soit U un ouvert de ℝ, alors {x ∈ ℝ^{n} ; f(x) ∈ U} est un ouvert de ℝ^{n}.

2. Soit F un fermé de ℝ, alors {x ∈ ℝ^{n} ; f(x) ∈ F } est un fermé de ℝ^{n}.

Signalons que ce résultat est vrai sous la forme plus générale suivante que nous ne devrions pas utiliser :

Proposition 5.2 Soit f : A → ℝ une fonction numérique définie sur un sous-ensemble A de ℝ^{n} et continue.

1. Soit U est ouvert de ℝ, alors {x ∈ A ; f(x) ∈ U} est l’intersection de A avec un ouvert de ℝ^{n}.

2. Soit F un fermé de ℝ, alors {x ∈ A ; f(x) ∈ F } est l’intersection de A avec un fermé de ℝ^{n}.

Exemple : Considérons la fonction polynomiale :

f : ℝ^{2} → ℝ : (x_{1}, x_{2}) ↦ 2x_{1}^{2} + x_{2}^{2} .

L’ensemble F = {1} réduit à un élément est un fermé de ℝ, car son complémentaire ℝ − {1} =] − ∞, 1[∪]1, ∞[ est un ouvert de ℝ. D’une part, nous avons :

\begin{aligned}\{(x_{1}, x_{2}) ∈ ℝ^{2} ; f(x_{1}, x_{2}) ∈ F \} & = \{(x_{1}, x_{2}) ∈ ℝ^{2} ; f(x_{1}, x_{2}) ∈ \{1\}\} , \\ & = \{(x_{1}, x_{2}) ∈ ℝ^{2} ; 2x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 1\} . \end{aligned}

D’autre part, f est une fonction polynomiale, donc définie sur ℝ^{2} et continue. Il résulte donc la proposition 5.1, que l’ensemble :

{(x_{1}, x_{2}) ∈ ℝ^{2} ; 2x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 1}

est un fermé de ℝ^{2}.

Considérons la même fonction f et le sous-ensemble U =] − ∞, 1[. Nous avons :

\begin{aligned}\{(x_{1}, x_{2}) ∈ ℝ^{2} ; f(x_{1}, x_{2}) ∈ U\} & = \{(x_{1}, x_{2}) ∈ ℝ^{2} ; f(x_{1}, x_{2}) ∈] − ∞, 1[\} , \\ & = \{(x_{1}, x_{2}) ∈ ℝ^{2} ; 2x_{1}^{2} + x_{2}^{2} < 1\} . \end{aligned}

Comme U est un sous-ensemble ouvert de R, l’ensemble :

{(x_{1}, x_{2}) ∈ ℝ^{2} ; 2x_{1}^{2} + x_{2}^{2} < 1}

est d’après la proposition 5.1 un ouvert de ℝ^{2}.

Théorème 5.3 Soit A un sous-ensemble fermé et borné de ℝ^{n} et f : A → ℝ une fonction continue. Alors f possède un maximum et un minimum qui sont atteints :

i) il existe M un réel tel que pour tout x dans A, nous ayons f(x) ≤ M et de plus, il existe n-uplet a dans A tel que f(a) = M ; ii) il existe m un réel tel que pour tout x dans A, nous ayons m ≤ f(x)

et de plus, il existe n-uplet b dans A tel que f(b) = m.

Exemple : Considérons l’ensemble :

A = {(x_{1}, x_{2}) ∈ ℝ^{2} ; 2x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 1} .

Nous avons montré que c’est un fermé de ℝ^{2}. Soit (x_{1}, x_{2}) ∈ A. Nous avons :

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} ≤ 2x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 1 .

Ainsi, x_{1}^{2} + x_{2}^{2} ≤ 1 et (x_{1}, x_{2}) appartient à la boule de centre l’origine et de rayon 1. L’ensemble A, contenu dans la boule de centre l’origine et de rayon 1, est donc borné. Considérons alors l’application :

h : A → ℝ : (x_{1}, x_{2}) → x_{1}

Cette application h est continue, car c’est la restriction à A d’une application polynomiale et donc continue. Comme A est un sous-ensemble fermé et borné de ℝ^{2}, le théorème 5.3 nous assure que f possède un maximum et un minimum qui sont tous les deux atteints. Nous allons au moyen d’un calcul direct déterminer ces données. Pour ce faire, commencons par remarquer que si (x_{1}, x_{2}) ∈ A , 2x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 1 et donc 2x_{1}^{2} ≤ 1. De la croissance de fonction x ↦ x^{2} sur les réels positifs, il en résulte

que | x_{1} |≤ \frac{1}{\sqrt{2}}. Ainsi pour tout (x_{1}, x_{2}) ∈ A, nous avons :

−\frac{1}{\sqrt{2}} ≤ h(x_{1}, x_{2}) ≤ \frac{1}{\sqrt{2}}

Mais nous avons :

(−\frac{1}{\sqrt{2}}, 0) ∈ A et h(−\frac{1}{\sqrt{2}}, 0) = −\frac{1}{\sqrt{2}}

(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0) ∈ A et h(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0) = \frac{1}{\sqrt{2}}

Donc \frac{1}{\sqrt{2}} est un maximum de h atteint en (\frac{1}{\sqrt{2}}, 0) et −\frac{1}{\sqrt{2}} est un minimum

de h atteint en (−\frac{1}{\sqrt{2}}, 0).

Théorème (des valeurs intermédiaires) 5.4 Soit I ⊂ ℝ et f : I → ℝ continue. Soit a < b deux réels avec [a, b] ∈ I. Alors f prend toutes les valeurs comprises entre f(a) et f(b) : pour tout γ entre f(a) et f(b) il existe c ∈ [a, b] tel que f(c) = γ.

Exemple : Considérons la fonction :

f : ℝ → ℝ : x ↦ \frac{2 − x^{3}}{x + 1} .

La fonction f est une fraction rationelle. Elle est donc continue sur son domaine de définition ℝ − {−1}. L’intervalle [0, 1] est contenu dans ℝ − {−1}.

Comme f(0) = 2 et f(1) = \frac{1}{2}, il résulte du théorème 5.4 que f prend au

moins toutes les valeurs comprises entre \frac{1}{2} et 2.

Soit J un intervalle de ℝ et g : J → ℝ une fonction numérique d’une variable. Rappelons que l’on dit que g est strictement croissante sur J si :

∀x, y ∈ J , x < y ⇒ f(x) < f(y) .

De même, g est dite strictement décroissante si :

∀x, y ∈ J , x < y ⇒ f(x) > f(y) .

La fonction g est dite strictement monotone si elle est strictement croissante ou strictement décroissante.

Corollaire 5.5 Soit I ⊂ ℝ et f : I → ℝ continue. Soit a < b deux réels avec [a, b] ∈ I. Supposons de plus que f est strictement monotone sur [a, b]. Alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe un unique réel c dans l’intervalle [a, b] tel que f(c) = k.

III Dérivées partielles d’une fonction numérique

1 Dérivée d’une fonction numérique d’une variable

2 Dérivées partielles

IV Fonctions usuelles

1 Fonctions exponentielle et logarithme

Proposition (existence de la fonction exponentielle) 1.1 Il existe une unique fonction dérivable f : R → R telle que :

∀x ∈ R , f′(x) = f(x) et f(0) = 1 .

Cette fonction est appelée fonction exponentielle et notée :

exp : R → R : x ↦ exp(x) = e^{x} .

Une propriété essentielle de la fonction exponentielle est :

∀x, y ∈ R , e^{x+y} = e^{x}e^{y} .

Il en résulte que la fonction exponentielle est à valeurs strictement positives et est strictement croissante :

∀x, y ∈ R , x < y ⇒ 0 < e^{x} < e^{y} .

La fonction exponentielle dérivable sur R est donc continue sur R. On peut alors montrer que l’application :

R → R^{+} − {0} : x ↦ e^{x}

est bijective. C’est à dire que pour tout réel y > 0, il existe un unique réel x tel que e^{x} = y.

Le réel e^{1}, valeur de la fonction exponentielle en 1, est noté e. Ce n’est pas un nombre rationnel. Le début de son développement décimal est de 2,71828182846.... .

Proposition (existence de la fonction logarithme) 1.2 Il existe une unique fonction dérivable f : R^{+} − {0} → R telle que :

∀x ∈ R^{+} − \{0\} , f′(x) = \frac{1}{x} et f(1) = 0 .

Cette fonction est appelée fonction logarithme néperien ou logarithme et notée :

ln : R^{+} − {0} → R : x ↦ lnx .

Une propriété essentielle de la fonction logarithme est :

∀x, y ∈ R^{+} − {0} , ln(xy) = lnx + lny .

La fonction logarithme est strictement croissante :

∀x, y ∈ R^{+} − {0} x < y ⇒ lnx < lny .

La fonction logarithme dérivable sur R^{+}−{0} est donc continue. On peut alors montrer que l’application :

R^{+} − {0} → R : x ↦ lnx

est bijective. C’est à dire que pour tout réel y, il existe un unique réel x > 0 tel que lnx = y.

Les fonctions logarithme et exponentielle sont liées. En effet, les deux applications bijectives :

R → R^{+} − {0} : x ↦ e^{x}

et

R^{+} − {0} → R : x ↦ lnx

sont inverses l’une de l’autre. C’est à dire :

∀x ∈ R : ln(e^{x}) = x et ∀x ∈ R^{+} − {0} : e^{lnx} = x .

Pour tout réel a, à l’aide de la fonction logarithme, nous pouvons définir la fonction puissance a.

Définition (fonction puissance) 1.3 Soit a un nombre réel. Nous appelons fonction puissance a la fonction :

R^{+} − {0} → R : x ↦ x^{a} := e^{alnx} .

Si a rationnel, cette fonction x ↦ x^{a} généralise bien la fonction puissance usuelle. Par exemple pour tout x > 0, x.x = x^{2} = e^{2lnx} et \sqrt{x} l’unique réel positif dont le carré est x est bien égal à x^{1/2} = e^{\frac{1}{2} lnx}.

La fonction puissance a :

R^{+} − {0} → R : x ↦ x^{a} .

est dérivable sur R^{+} − {0} comme composée d’applications dérivables. Nous obtenons que sa dérivée est la fonction :

R^{+} − {0} → R : x ↦ ax^{a−1} .

On pourra écrire : (x^{a})′ = ax^{a−1}.

Pour tout a réel, nous avons :

∀x, y ∈ R^{+} − {0} , (xy)^{a} = x^{a}y^{a} .

La fonction puissance a est à valeurs strictement positives et est strictement croissante. L’application :

R^{+} − {0} → R^{+} − {0} : x ↦ x^{a} .

est bijective. Son inverse est l’application :

R^{+} − \{0\} → R^{+} − \{0\} : x ↦ x^{\frac{1}{a}} .

Signalons enfin que pour tout a, b réels nous avons :

∀x ∈ R^{+} − {0} , (x^{a})^{b} = x^{ab} et x^{a} x^{b} = x^{a+b}

En particulier :

∀x ∈ R^{+} − \{0\} , x^{−a} = \frac{1}{x^{a}}

2 Fonctions trigonométriques

Considérons dans R^{2} le cercle S de centre 0 et de rayon 1 :

S = {(x_{1}, x_{2}) ∈ R^{2} ; x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 1} .

La longueur de S est le nombre 2π. Le nombre π n’est pas rationnel. Le début de son dévelopement décimal est 3, 1415926535... (que j’aime à faire connaître un nombre utile aux sages ...)

Soit x ≥ 0 un réel. Parcourons la distance x sur le cercle S à partir du point A = (1, 0) dans le sens contraire des aiguilles d’une montre. On arrive à un point M(x) ∈ S. Soit x ≤ 0 un réel. Parcourons la distance x sur le cercle S à partir du point A = (1, 0) dans le sens des aiguilles d’une montre. Pour tout x réel, nous venons de définir un point M(x) dont nous notons M(x) = (cos x, sin x) les coordonnées. Nous appelons cosinus la fonction :

R → R : x ↦ cos x

et sinus la fonction :

R → R : x ↦ sin x

Pour tout x réel, nous avons par définition : (cos x, sin x) ∈ S et donc :

(cos x)^{2} + (sin x)^{2} = 1 , −1 ≤ cos x ≤ 1 , −1 ≤ sin x ≤ 1 .

Proposition 2.1 Les fonctions cosinus et sinus sont continues, dérivables. La dérivée de la fonction cosinus est la fonction − sin et celle de la fonction sinus est la fonction cos.

Nous avons pour tout réel x et pour tout entier k :

cos(x + 2kπ) = cos x , sin(x + 2kπ) = sin x
cos(x + π) = − cos x , sin(x + π) = − sin x
cos(\frac{π}{2} − x) = sin x ,  sin(\frac{π}{2} − x) = cos x
cos(x + \frac{π}{2} ) = sin x ,  sin(x + \frac{π}{2} ) = − cos x

Indiquons quelques valeurs particulières.

cos 0 = 1 ,  sin 0 = 0
cos \frac{π}{2} = 0 ,  sin \frac{π}{2} = 0
cos \frac{π}{6} = \frac{1}{2} ,  sin \frac{π}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}
cos \frac{π}{4} = \frac{1\sqrt{2}}{2} , sin \frac{π}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}
cos \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} , sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}