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\newtheorem*{conj}{Conjecture}
\newtheorem*{thm}{Th\'eor\`eme}

\title{R\'esum\'e des travaux de recherche}


\begin{document}

\maketitle

\pagestyle{plain}
\thispagestyle{empty}

Mes travaux portent globalement sur l'alg\`ebre et la topologie alg\'ebrique.  Ils 
sont recens\'es dans ma th\`ese, \emph{Dualit\'e de
Koszul des props}
et dans deux articles ind\'ependants,
\emph{Homology of generalized partition posets} et 
\emph{Pointed and multi-pointed partitions of type A and B}.

\section*{Th\`ese : Dualit\'e de Koszul des props}

La dualit\'e de Koszul est une th\'eorie alg\'ebrique qui a d'abord 
\'et\'e d\'evelopp\'ee par S. Priddy dans les ann\'ees 70 au niveau des alg\`ebres associatives. 
Une th\'eorie similaire a \'et\'e \'ecrite par V.Ginzburg et M.M.Kapranov pour les op\'erades 
alg\'ebriques en 1994. Une op\'erade est un objet qui
mod\`elise les op\'erations d'un type d'alg\`ebres donn\'e et les
compositions de celles-ci. La dualit\'e de Koszul des op\'erades a
de nombreuses applications : construction d'un ``petit'' complexe
pour le calcul des groupes d'homologie d'une alg\`ebre, notion
d'alg\`ebre \`a homotopie pr\`es, mod\`ele minimal d'une
op\'erade. Les op\'erades ne tiennent compte que des op\'erations \`a $n$
entr\'ees et une seule sortie. Or, dans le cas des big\`ebres et des big\`ebres de Lie (\emph{cf.} Drinfeld)
on a des op\'erations et aussi des coop\'erations (\`a plusieurs
sorties) . On doit alors enrichir la notion d'op\'erade,
c'est-\`a-dire travailler avec des
props.

Il est naturel d'essayer d'\'etendre la dualit\'e de Koszul des
op\'erades aux props. Plusieurs travaux existaient d\'ej\`a dans cette 
direction par M. Kontsevich, B. Shoiket, M. Markl et 
A. A. Voronov. Comme le produit mono\"\i dal $\circ$ des op\'erades est lin\'eaire 
\`a gauche alors que son \'equivalent au niveau des props $\boxtimes$ ne l'est pas, les 
d\'emonstrations op\'eradiques ne sont pas reconductibles au cas 
des props. Pour pouvoir d\'emontrer cette th\'eorie, j'ai introduis
 une nouvelle graduation, venant des foncteurs analytiques induits 
par le produit $\boxtimes$, et 
g\'en\'eralis\'e les constructions des bords des graphes-complexes de 
M. Kontsevich. (Remarquons que ces d\'emonstrations incluent le cas des 
alg\`ebres associatives et celui des op\'erades). Ces travaux permettent 
notamment de d\'efinir des th\'eories 
homologiques naturelles pour les ``big\`ebres'' et les notions de 
``big\`ebres''  \` a homotopie pr\`es. Cette th\'eorie donne le calcul de l'homologie 
de certaines familles de graphes (\emph{cf.} M. Markl et A.A. Voronov).

Dans le premier chapitre de ma th\`ese, je d\'emontre un th\'eor\`eme 
qui fournit la construction du mono\"\i de libre dans une cat\'egorie 
mono\"\i dale ab\'elienne. Cette construction est bien connue dans le cas 
o\`u le produit est bilin\'eaire, elle est donn\'ee par les mots. Le cas g\'en\'eral 
est plus compliqu\'e et a \'et\'e tr\`es peu 
\'etudi\'e. Gr\^ace \`a cette construction, j'obtiens notamment les notions 
d'op\'erade et de prop libres.

\`A une alg\`ebre quadratique ou \`a une op\'erade quadratique, on peut 
associer une s\'erie de Poincar\'e. De telles s\'eries sont tr\`es utiles (cf. J.-L. Loday). Dans 
le dernier chapitre, je g\'en\'eralise ces s\'eries au cas des props. Je montre une 
\'equation fonctionnelle v\'erifi\'ee par les s\'eries de Poincar\'e 
associ\'ees aux props de Koszul. En appliquant ce r\'esultat \`a  une
op\'erade libre particuli\`ere, je red\'emontre sans calcul une formule
v\'erif\'ee par la s\'erie g\'en\'eratrice des polytopes de
Stasheff.

Deux articles ont \'et\'e extrait de cette th\`ese. 

\section*{Pr\'epublication : Homology of generalized partition posets}

\`A toute op\'erade ensembliste, j'associe un poset (ensemble partiellement ordonn\'e) du type partition. 
Le principal r\'esultat de cet article affirme qu'une op\'erade ensembliste est de Koszul si et seulement si 
son poset est de Cohen-Macaulay, c'est-\`a-dire que son homologie est concentr\'ee en dimension maximale. 
Dans un sens cela permet de calculer l'homologie de ces posets, en terme de repr\'esentation du groupe 
sym\'etrique. (Cette homologie est donn\'ee par la duale de Koszul de l'op\'erade consid\'er\'ee.) 
Dans l'autre sens, les m\'ethodes combinatoires pour montrer qu'un poset est de Cohen-Macaulay permettent de 
d\'emontrer que certaines op\'erades sont de Koszul sur $\mathbb{Z}$.


\section*{Pr\'epublication : Pointed and multi-pointed partitions of type A and B}

Cet article a \'et\'e r\'edig\'e en collaboration avec Fr\'ed\'eric Chapoton. \\

Motiv\'es par le pr\'ec\'edent article et inspir\'es par les posets associ\'es \`a 
certaines op\'erades bien connues, nous introduisons et \'etudions les posets des partitions point\'ees et 
multi-point\'ees de type 
A et B (dans la classification des groupes de Coxeter finis). Nous calculons 
leurs polynomes caract\'eristiques, leurs alg\`ebres de Hopf d'incidence ainsi 
que leurs groupes d'homologie (toujours 
en terme de repr\'esentations du groupe sym\'etrique). 
Pour cela, nous montrons que ces posets sont de Cohen-Macaulay en 
utilisant les travaux de Bj\"orner-Wachs. 
Comme corollaire, on obtient que certaines operades ($\mathcal{P}erm$, $\mathcal{C}omtrias$) sont de Koszul sur 
$\mathbb{Z}$. 


\end{document}








