\documentclass[11pt]{amsart}

\usepackage{a4wide}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[all]{xy}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{fancyhdr}
% \usepackage{showidx}

\setlength{\footskip}{50pt}
\setlength{\parindent}{0pt}
\addtolength{\headsep}{1cm}

\newcommand{\cone}{\textrm{c\^one}}
\newcommand{\B}{\mathcal{B}}
\newcommand{\oC}{\bar{\mathcal{C}}}
\newcommand{\od}{{\bar{d}}}
\newcommand{\ole}{{\bar{e}}}
\newcommand{\oPo}{\overline{\Po}}
\newcommand{\Bi}{\mathcal{B}i}
\newcommand{\BLi}{\mathcal{B}i\mathcal{L}ie}
\newcommand{\IBi}{\varepsilon\mathcal{B}i}
\newcommand{\G}{\mathcal{G}}
\newcommand{\N}{\mathcal{N}}
\newcommand{\Sh}{\mathcal{S}}
\newcommand{\tSh}{\widetilde{\mathcal{S}}}
\newcommand{\kj}{{\bar{k},\, \bar{\jmath}}}
\newcommand{\oi}{{\bar{\imath}}}
\newcommand{\oj}{{\bar{\jmath}}}
\newcommand{\ok}{{\bar{k}}}
\newcommand{\ol}{{\bar{l}}}
\newcommand{\coker}{\mathop{\mathrm{coker}}}
\newcommand{\Colim}{\mathop{\mathrm{Colim}}}
\newcommand{\FS}{\mathcal{FS}}
\newcommand{\Sy}{\mathbb{S}}
\newcommand{\CA}{\mathcal{A}}
\newcommand{\C}{\mathcal{C}om}
\newcommand{\A}{\mathcal{A}s}
\newcommand{\D}{\mathcal{D}ias}
\newcommand{\Pe}{\mathcal{P}erm}
\newcommand{\Po}{\mathcal{P}}
\newcommand{\F}{\mathcal{F}}
\newcommand{\ac}{\scriptstyle \textrm{!`}}
\newcommand{\K}{\mathcal{K}}
\newcommand{\II}{I}
\newcommand{\Qo}{\mathcal{Q}}
\newcommand{\Li}{\mathcal{L}ie}
\newcommand{\Sc}{\mathbb{S}^c}
\newcommand{\Di}{\mathcal{D}ias}
%\newcommand{\Pe}{\mathcal{P}erm}
\newcommand{\Pli}{\mathcal{P}relie}
\newcommand{\Dend}{\mathcal{D}end}
\newcommand{\Co}{\mathcal{C}}
\newcommand{\cqfd}{\ \hfill \square}
\newcommand{\poPP}{\overline{poPP}}

\newtheorem*{conj}{\sc Conjecture}
\newtheorem*{thm}{\sc Th\'eor\`eme}

\pagestyle{fancy}

\begin{document}

\begin{center}

 $\boxed{\bf \Huge 
\begin{array}{c}
\textbf{\Huge Dossier de candidature au poste}\\
\textbf{de ma\^\i tre de
conf\'erences}
\end{array}}$\\

\vskip12pt

{\sc \large section 25}\\

{octobre 2004}\\

\vskip50pt

{\bf \huge Bruno VALLETTE}
\end{center}

\thispagestyle{empty} 

\vskip50pt

{\small
\begin{tabbing}
{\sc Adresse professionnelle}  : \=  Laboratoire J.A. Dieudonn\a'e \\
\> Universit\a'e de Nice Sophia-Antipolis \\
\> Parc Valrose\\
\> 06108 Nice Cedex 02 \\
\> France
\end{tabbing}

\begin{tabbing}
\textsc{T\a'el\a'ephone} \= : \= (+33) 4.92.07.62.95\\
\textsc{T\a'el\a'ecopie} \> : \>  (+33) 4.93.51.79.74
\end{tabbing}

\begin{tabbing}
{\sc Adresse \a'electronique} \= : \= 
\texttt{brunov@math.unice.fr}\\
{\sc Page personnelle} \> : \> 
\texttt{http://math.unice.fr/$\sim$brunov/}
\end{tabbing}}


\vskip50pt



{\bf  \Large Sommaire :}\\

{\large
\noindent
1. Curriculum vitae \hfill p. 2 \\
2. Liste des publications \hfill p. 3 \\
3. Communications orales \hfill p. 4 \\
4. S\'ejours, colloques, \'ecoles d'\'et\'e et groupes de travail
\hfill p. 5 \\
5. Activit\'e administrative et organisation \hfill p. 6 \\
6. Activit\'e en mati\`ere d'enseignement \hfill p. 7 \\
7. R\'esum\'e des travaux de recherche \hfill p. 8 \\
8. Projet de recherche \hfill p. 13\\
}

 \vskip50pt

\noindent
 \textbf{Domaines de recherche :} Alg\`ebre, topologie alg\`ebrique,
 alg\`ebre homologique, alg\`ebres de Hopf, physique
 math\'ematique.

\newpage

\fancyhead{}
 \fancyhead[RO]{\MakeUppercase{\bf 1. Curriculum vitae}}
\fancyhead[LE]{\MakeUppercase{\bf 1. Curriculum vitae}}

$\ $ \smallskip

\flushleft{\bf \large \'Etat civil}

\bigskip

n\'e le 6 janvier 1976 \`a G\'erardmer (Vosges), pacs\'e\\
\textsc{Nationalit\'e :} Fran\c caise

\bigskip

\flushleft{\bf \large Situation Professionnelle}

\bigskip

\begin{tabbing}
$\circ$ \= Attach\a'e Temporaire d'Enseignement et de Recherche 
(septembre 2004 - ao\a^ut 2005) \\
\> Universit\a'e de Nice Sophia-Antipolis (Laboratoire J.A. Dieudonn\a'e)\\
$\circ$ \= Allocataire de recherche et moniteur (septembre 2001 - ao\a^ut 2004) \\
\> Universit\a'e Louis Pasteur Strasbourg (IRMA)
\end{tabbing}

\bigskip


 \flushleft{\bf \large Cursus universitaire}

\bigskip

\begin{tabbing}
$\circ$ 9 d\a'ecembre 2003 $\quad \quad \quad$  $\, $ : $\, $  \= Th\a`ese
de doctorat, {\it Dualit\a'e de Koszul des PROPs}, \\
\> soutenue devant \= Benjamin Enriquez (Rapporteur interne) \\
\> \> Benoit Fresse (Rapporteur externe) \\
\> \> Jean-Louis Loday (Directeur de th\a`ese)\\
\> \>Martin Markl (Examinateur) \\
\> \>  Birgit Richter (Examinatrice) \\
\> \> Alexander A. Voronov (Rapporteur externe) \\
$\circ$ septembre 2001 - ao\^ut 2004 $\,$  : $\, $  Doctorat de
Math\a'ematiques (sous la direction de Jean-Louis Loday)
\end{tabbing}

\begin{tabbing}
$\circ$ 2000-2001 $\quad $ \= : $\quad $ \=  DEA de Math\a'ematiques (ULP Strasbourg)\\
\> \> {\sc Cours valid\a'es} : \= Op\a'erades et alg\a`ebre homotopique (J.-L. Loday) \\
\> \> \> G\a'eom\a'etrie symplectique : lagrangiennes (M.
Audin) \\
\>  \> \> G\a'eom\a'etrie sympl\a'etrique : \= actions de groupes (T. Wurzbacher)\\
\>  \> \> Faisceaux et vari\a'et\a'es (O. Debarre) \\
\>  \> \> Approximation par des nombres
alg\a`ebriques (Y. Bugeaud) \\
\> \>  {\sc M\a'emoire} : \= {\it La dualit\a'e de Koszul des
$\mathcal{P}$-alg\a`ebres quadratiques}\\
\> \> \>  (sous la direction de J.-L. Loday) \\
\\
$\circ$  1999-2000 \> : \>   Agr\a'egation de Math\a'ematiques (re\c cu $8^e$)\\
\\
$\circ$  juin 1999 \> : \> Admis au concours d'entr\a'ee en troisi\a`eme
ann\a'ee
\a`a l'ENS Cachan\\
\\
$\circ$  1998-1999 \> : \>  Ma\^\i trise de Math\a'ematiques (Magist\a`ere
de
l'ENS Lyon) \\
\> \> {\sc Cours de DEA} : {\it Alg\a`ebres de Lie} (P. Caldero) \\
\> \> {\sc Stage} : \={\it Graphes cristallins} [d'apr\a`es Kashiwara et Nakashima] \\
\> \> \>  (sous la direction de P. Caldero, Insitut Desargues Lyon)\\
\\
$\circ$ 1997-1998 \> : \> Licence de Math\a'ematiques (Magist\a`ere de
l'ENS Lyon) \\
\> \> {\sc Stage} : {\it Histoire de l'Arithm\a'etique vue \a`a
travers le Grand Th\a'eor\a`eme de Fermat}\\
\> \> \> (sous la direction de Y. Bugeaud et M. Mignotte, IRMA
Strasbourg)
\end{tabbing}

\newpage
\fancyhead{}
 \fancyhead[RO]{\MakeUppercase{\bf 2. Liste des publications}}
\fancyhead[LE]{\MakeUppercase{\bf 1. Curriculum vitae}}

$\ $
\smallskip

\flushleft{\bf \large Publications}

\bigskip

\begin{tabbing}
$(1)$ \= {\it Koszul duality for PROPs}, C. R. Math. Acad. Sci. Paris \textbf{338} 
(2004), no. 12, 909-914.
\end{tabbing}

\bigskip
\flushleft{\bf \large Pr\'epublications} \bigskip


\begin{tabbing}
$(2)$ \= {\it Dualit\a'e de Koszul des PROPs}, Th\a`ese de
doctorat (d\a'ecembre 2003).\\
\>  {\tt http://math.unice.fr/$\sim$brunov/publications/these.ps}\\
$(3)$ \= {\it Homology of generalized partition posets} 
(avril 2004), \texttt{math.AT/0405312}, soumis.\\
$(4)$ \> {\it Pointed and multi-pointed partitions of type A and B} (octobre
2004),\\ 
\> en collaboration avec Fr\a'ed\a'eric Chapoton, pr\a'epublication,  
\texttt{math.QA/0410051}, soumis.\\
$(5)$ \> {\it Koszul duality for props and homotopy $\mathcal{P}$-gebras}, 
(extrait de la th\a`ese), pr\a'epublication, soumis.\\
$(6)$  \> {\it Free monoids in monoidal abelian categories}, 
(extrait de la th\a`ese) pr\a'epublication, soumis.

\end{tabbing}



\newpage

\fancyhead{}
 \fancyhead[RO]{\MakeUppercase{\bf 2. Liste des publications}}
\fancyhead[LE]{\MakeUppercase{\bf 3. Communications orales}}

$\ $

\smallskip


\begin{tabbing}
{\bf \large Conf\a'erences} : \= $\bullet$ \= {\it Koszul duality for
props,} (Louvain-La-Neuve, juin 2004),\\
\> \> Congr\a`es du Groupement de Recherche Europ\a'een de Topologie Alg\a'ebrique \\
\> \> \texttt{http://gauss.math.ucl.ac.be/$\sim$topalg/conf04/}
\end{tabbing}

\bigskip

\begin{tabbing}
{\bf  \large S\a'eminaires} : \=  $\bullet$  \= 
 S\a'eminaire d'Alg\a`ebre et Topologie 
(Universit\a'e de Nice Sophia-Antipolis) \\
\> \>  {\it Conjecture de Chas-Sullivan et dualit\a'e de Koszul des props} (octobre 2004)\\
\>  $\bullet$ S\a'eminaire d'Alg\a`ebre (Universit\a'e de 
Freiburg) \\
\> \>{\it Koszul duality for props} (juillet 2004) \\
\>  $\bullet$ \> S\a'eminaire
d'Alg\a`ebre (Universit\a'e de
Saint-Etienne) \\
\> \> {\it Homologie des posets et dualit\a'e de Koszul des op\a'erades} (mars 2004) \\
\>  $\bullet$ S\a'eminaire d'Alg\a`ebre et Topologie (IRMA
Strasbourg) \\
\> \>{\it Homologie des posets de partitions et dualit\a'e de Koszul} (mars 2004) \\
\>   $\bullet$ S\a'eminaire de Physique Math\a'ematique
(Institut Desargues, Lyon I) \\
\> \>{\it Dualit\a'e de
Koszul des PROPs} (mars 2004)\\
\>   $\bullet$ S\a'eminaire d'Alg\a`ebre
(Institut Desargues, Lyon I) \\
\> \>{\it Homologie des posets de partition} (mars 2004)\\
\>   $\bullet$ S\a'eminaire de Topologie Alg\a'ebrique
(Universit\a'e Paris 13) \\
\> \>{\it Dualit\a'e de
Koszul des PROPs et $\mathcal{P}$-g\a`ebres \a`a homotopie pr\a`es} (f\a'evrier 2004)\\
\> $\bullet$ S\a'eminaire de Math\a'ematiques Pures (Universit\a'e
de
Clermont-Ferrand) \\
\> \>{\it Dualit\a'e de
Koszul des PROPs et applications} (f\a'evrier 2004) \\
\> $\bullet$  S\a'eminaire de Topologie
(Universit\a'e de Lille) \\
\> \> {\it Dualit\a'e de Koszul des PROPs} (octobre 2003)\\
\> $\bullet$ S\a'eminaire d'Alg\a`ebre et Topologie (IRMA
Strasbourg) \\
\> \>{\it Dualit\a'e de Koszul des PROPs} (septembre 2003)
\end{tabbing}

\bigskip

\begin{tabbing}
{\bf \large Groupes de travail} : \= $\bullet$  \=
{\it Diff\a'erentes structures alg\a'ebriques 
 en Topologie des Cordes} (octobre 2004) \\
\> $\bullet$ \>{\it
Op\a'erades cycliques et graphe-complexes} (mars 2004) \\
\> $\bullet$ {\it Champs de vecteurs symplectiques et
graphe-complexe,} \\
\> \> {\it th\a'eor\a`eme de Kontsevich} (janvier 2004) \\
\> $\bullet$ {\it Le th\a'eor\a`eme de Loday-Quillen-Tsygan} (janvier 2004)\\
\>  $\bullet$ {\it Diagonale sur le permuto\a`edre et
l'associa\a`edre}\\
\> \> [d'apr\a`es Saneblidze et Umble] (f\a'evrier 2003) \\
\> $\bullet$ {\it Alg\a`ebres de Lie semi-simples} (octobre 2002)\\
\> $\bullet$ {\it Bicat\a'egories et 2-cat\a'egories} (f\a'evrier 2002) \\
\> $\bullet$ {\it Op\a'erade de Barratt-Eccles} (octobre 2001) \\
\> $\bullet$  {\it  Homologie simpliciale et homologie singuli\a`ere} \\
\> $\ $ (d\a'ecembre 2001, dans le cadre du cours de DEA de H.-W.
Henn)
\end{tabbing}

\bigskip

\begin{tabbing}
{\bf \large S\a'eminaire des doctorants} : \= $\bullet$ {\it \a`A
homotopie pr\a`es}
(janvier 2004) \\
\> $\bullet$ {\it Des dessins
d'arbres aux op\a'erades} (avril 2003) \\
\>  $\bullet$ {\it Repr\a'esentations des alg\a`ebres de Lie}
(janvier 2002)
\end{tabbing}


\newpage
\fancyhead{}
 \fancyhead[RO]{\MakeUppercase{\bf 4. S\'ejours, colloques, \'ecoles d'\'et\'e et groupes de travail}}
 \fancyhead[LE]{\MakeUppercase{\bf 3. Communications orales}}

$\ $
\smallskip


\begin{tabbing}
{\bf \large S\a'ejour \a`a l'\a'etranger} : \= $\bullet$ \=
S\a'ejour \a`a l'Institut Mittag-Leffler de Stockholm \\
\> \> du 5 au 17 avril 2004, \\
\> \> Programme \emph{G\a'eom\a'etrie non-commutative}, \\
\> \> \texttt{http://www.ml.kva.se/program0304.html}
\end{tabbing}

\bigskip

\begin{tabbing}
{\large \bf Colloques}  : \=
 $\bullet$ \= $71^{e}$ Rencontre entre physiciens th\a'eoriciens et
math\a'ematiciens \a`a Strasbourg  \\
\> \> {\it Graphs and cohomology in mathematical physics}
(septembre 2002)\\
\> $\bullet$  Journ\a'ees Etat de la Recherche \a`a Nantes  \\
\> \> {\it Foncteurs polyn\^omiaux, modules instables et
cohomologie
des sch\a'emas} \\
\> \> {\it en groupes finis}  (d\a'ecembre 2001)
\end{tabbing}

\bigskip

\begin{tabbing}
{\large \bf \a'Ecole d'\a'et\a'e} : \= $\bullet$ \= {\it 
Interactions between Homotopy theory and Algebra}, \\
\> \> University of Chicago (26 juin - 6 ao\a^ut 2004)\\
\> $\bullet$ Rencontres math\a'ematiques de
Glanon (Juillet 2003)
\end{tabbing}

\bigskip

\begin{tabbing}
{\bf \large Groupes de travail} : \= $\bullet$ \={\it Topologie des Cordes}
 (depuis octobre 2004) \\
\> $\bullet$ {\it Graphe
homologie} (2003-2004) \\
\> $\bullet$ {\it Alg\a`ebres vertex et alg\a`ebres chirales}
(2003) \\
\> $\bullet$ {\it Op\a'erades, polytopes, groupes de Coxeter,
tresses, alg\a`ebres de Hopf} \\
\> \> (octobre 2002 - mars 2003) \\
\> $\bullet$ {\it Cat\a'egories sup\a'erieures} (janvier 2002 -
juin 2002)\\
\> $\bullet$ {\it Op\a'erades, PROPs et $\Gamma$-homologie}
(octobre 2001 - d\a'ecembre 2001)
\end{tabbing}

\bigskip

\begin{tabbing}
{\bf \large Cours de DEA} : \= $\bullet$ \= {\it Les groupes des tresses} par C. Kassel (2002-2003)  \\
\> $\bullet$ {\it Cobordisme et groupes formels} par H.-W. Henn
(2001-2002)
\end{tabbing}

\bigskip

\begin{tabbing}
{\bf \large Cours } : \= $\bullet$ \= {\it Lectures on fusion
categories} par
P. Etingof (Juin 2003) \\
\> \>
\texttt{http://www-irma.u-strasbg.fr/irma/publications/2004/04005.shtml}
\end{tabbing}

\newpage
\fancyhead{}
 \fancyhead[RO]{\MakeUppercase{\bf 4. S\'ejours, colloques, \'ecoles d'\'et\'e et groupes de travail}}
 \fancyhead[LE]{\MakeUppercase{\bf 5. Activit\'e administrative et organisation}}

$\ $ \smallskip

\flushleft{\bf \large Responsabilit\'es scientifiques}\\
\bigskip

\begin{tabbing}
$\bullet$ Arbitre\\
\end{tabbing}


\flushleft{\bf Responsabilit\'es administratives}\\
\bigskip

$\bullet$  Membre \'elu au conseil scientifique de l'IRMA
Strasbourg (2003-2004)
\\

\bigskip \flushleft{\bf Organisation}

\begin{tabbing}
$\bullet$ \= Coorganisateur avec Jean-Louis Loday des groupes de travail \\
\> $\circ$ \=  {\it Graphe Homologie} (2003-2004) \\
\> \>
\texttt{http://www-irma.u-strasbg.fr/$\sim$vallette/GdTgraph.html} \\
\> $\circ$ {\it Alg\a`ebres vertex et alg\a`ebres chirales} (2003) \\
\> \>
\texttt{http://www-irma.u-strasbg.fr/$\sim$vallette/GdT.html}
\end{tabbing}


\newpage
\fancyhead{}
 \fancyhead[RO]{\MakeUppercase{\bf 6. Activit\'e en mati\`ere d'enseignement}}
 \fancyhead[LE]{\MakeUppercase{\bf 5. Activit\'e administrative et organisation}}

$\ $
\smallskip


\flushleft{$\bullet$ \bf \large  Titulaire de l'agr\'egation de
math\'ematiques}

$\ $ (re\c cu \`a la 8\`eme place, session 2000)\\

\bigskip

\flushleft{$\bullet$ \bf \large Monitorat \`a l'UFR math\'ematique et
informatique (ULP Strasbourg) de septembre 2001 \`a ao\^ut 2004}\\

\medskip

\flushleft{$\circ$ Pr\'eparation \`a l'agr\'egation externe de
Math\'ematiques (de septembre 2001 \`a juin 2004)}


\begin{tabbing}
$\quad$ \= - \= Corrections de sujets \a'ecrits suivies de cours
d'approfondissment.
Cela repr\a'esente un \\
\>\> total de 12 sujets sur trois ans portant sur l'ensemble du
programme
de l'agr\a'egation \\
\>\> (alg\a`ebre, g\a'eom\a'etrie et
analyse)\\
\> - \> Pr\a'eparation de feuilles d'exercices et s\a'eances de Travaux
Dirig\a'es avec les \a'etudiants\\
\> - \> Interrogations orales (Oraux blancs)\\
  \> \> \texttt{http://irmasrv1.u-strasbg.fr/agregation/}
\end{tabbing}

\flushleft{$\circ$  Cours int\'egr\'es en DEUG (premi\`ere ann\'ee)}

\begin{tabbing}
$\quad$ \= Cours et s\a'eances de Travaux Dirig\a'es en DEUG
Sciences de la Vie et de la
Terre (Premier \\
\> semestre 2003/2004). L'intitul\a'e du cours \a'etait
\emph{Rappels de Math\a'ematiques}. \\
\> Il portait sur l'\a'etude des fonctions, la d\a'erivation,
l'int\a'egration et les nombres complexes.\\
\end{tabbing}


\flushleft{$\bullet$ \bf \large Colles en classes pr\a'eparatoires
aux grandes \a'ecoles}\\
$\ $ (classe de MP* au Lyc\a'ee du Parc, Lyon)


\newpage

\fancyhead{}
 \fancyhead[RO]{\MakeUppercase{\bf 7. R\'esum\'e des travaux de recherche}}
 \fancyhead[LE]{\MakeUppercase{\bf 7. R\'esum\'e des travaux de recherche}}

$\ $
\small

Mes travaux, effectu\'es durant ces trois ann\'ees de th\`ese,
portent globalement sur la th\'eorie alg\'ebrique de la dualit\'e
de Koszul (des alg\`ebres associatives, des op\'erades et des
props) et admettent des applications en topologie alg\`ebrique,
alg\`ebre quantique et en physique math\'ematique. Ils sont
recens\'es dans ma th\`ese, \emph{Dualit\'e de Koszul des PROPs}, qui a 
donn\'e lieu \`a deux articles et dans deux articles
ind\'ependants, \emph{Homology of generalized partition posets} et 
\emph{Pointed and multi-pointed partitions of type A and B}.

\bigskip

\begin{center}
\large \textsc{Th\`ese :} \textbf{ Dualit\'e de Koszul des PROPs}
\end{center}


\bigskip

Le but de ma th\`ese est d'\'etablir une th\'eorie de dualit\'e de
Koszul pour les props.\\


\subsection*{Introduction}
La dualit\'e de Koszul des alg\`ebres associatives est une
th\'eorie qui a \'et\'e d\'e\-ve\-lo\-pp\'ee par S. Priddy dans
les ann\'ees 1970. Elle associe \`a toute alg\`ebre quadratique
$A$ une \emph{cog\`ebre duale} $A^{\ac}$ et un complexe de cha\^\i
nes appel\'e \emph{complexe de Koszul}. Lorsque ce dernier est
acyclique, on dit que l'alg\`ebre $A$ est \emph{de Koszul}. Une
telle alg\`ebre, ainsi que ses repr\'esentations, ont de
nombreuses propri\'et\'es (\emph{cf.} les travaux de Beilinson,
Ginzburg et Soergel, entre autres [BGS]).

\medskip

Dans les ann\'ees 1990, une th\'eorie similaire a \'et\'e
d\'evelopp\'ee par V. Ginzburg et M.M. Kapranov pour les
\emph{op\'erades alg\`ebriques} (\emph{cf.} [GK]). Une op\'erade
est un objet alg\'ebrique qui mod\'elise les op\'erations \`a $n$
variables sur un certain type d'alg\`ebres : $A^{\otimes n}\to A$.
Par exemple, il existe des op\'erades $\mathcal{A}s$,
$\mathcal{C}om$ et
 $\mathcal{L}ie$ qui codent les alg\`ebres associatives, commutatives et les
alg\`ebres de Lie. Comme ces op\'erations portent sur plusieurs
entr\'ees mais n'ont qu'une seule sortie, on peut repr\'esenter
leurs compositions par des arbres (\emph{cf.} figure~\ref{fig1}).

\begin{figure}[h]
$$\xymatrix@R=20pt@C=20pt{ a_1 \ar[dr] & a_2 \ar[d] & a_3 \ar[dl]& a_4\ar[dr]& &a_5\ar[dl]
& a_6\ar[dr] & a_7\ar[d] & a_8\ar[dl] \\
\ar@{.}[r] & *+[F-,]{q_1}\ar@{.}[rrr] \ar[drrr]& & &
*+[F-,]{q_2}\ar@{.}[rrr] \ar[d]
 & & & *+[F-,]{q_3} \ar@{.}[r]
\ar[dlll]& \\
\ar@{.}[rrrr] & & & & *+[F-,]{p_1} \ar[d]\ar@{.}[rrrr] & & & & \\
 & & & & & & & &  }$$
\caption{\label{fig1} Exemple de composition d'op\'erations
multilin\'eaires.}
\end{figure}

La dualit\'e de Koszul des op\'erades a de nombreuses applications
: construction d'un ``petit'' complexe pour le calcul des groupes
d'homologie d'une alg\`ebre, \emph{mod\`ele minimal} d'une
op\'erade, notion d'\emph{alg\`ebre \`a homotopie pr\`es}.\\

\medskip

Les op\'erades ne tiennent compte que des op\'erations \`a plusieurs
entr\'ees et une seule sortie. Or, dans le cas des big\`ebres et
des big\`ebres de Lie (\emph{cf.} V. Drinfeld [D]), on a des op\'erations 
et aussi des
coop\'erations (\`a plusieurs sorties). Leurs compositions se
repr\'esentent alors avec des graphes dirig\'es (\emph{cf.}
Figure~\ref{fig2}).

\begin{figure}[h]
$$\xymatrix{ &  a_1\ar[dr] & a_ 2 \ar[d] & a_3 \ar[dl] & a_4 \ar[dr] &
& a_5 \ar[dl] \\
 & \ar@{.}[r]& *+[F-,]{\nu_1} \ar@{-}[dl]
\ar@{-}[drr] \ar@{.}[rrr]& & & *+[F-,]{\nu_2}
\ar@{-}[dr] \ar@{-}[dll] |(0.75) \hole  \ar@{.}[r]& \\
 & *=0{} \ar[dr] & &*=0{}\ar[dl] &*=0{}\ar[dr] & &*=0{} \ar[dl]\\
& \ar@{.}[r] & *+[F-,]{\nu_3} \ar[d]
\ar@{.}[rrr]& & & *+[F-,]{\nu_4} \ar[dl] \ar[d]
\ar[dr] \ar@{.}[r] & \\
& & & & & & }$$ \caption{\label{fig2} Exemple de composition
d'op\'erations \`a plusieurs entr\'ees et plusieurs sorties.}
\label{figrapheniveau}
\end{figure}

On doit alors enrichir la notion d'op\'erade,
c'est-\`a-dire travailler avec des \emph{props}.\\

Il est naturel d'essayer d'\'etendre la dualit\'e de Koszul des
op\'erades aux props. Plusieurs travaux existent d\'ej\`a dans
cette direction  par M. Kontsevich, W. L. Gan , M.
Markl et A. A. Voronov. Comme le produit mono\"\i dal $\circ$ des
op\'erades est lin\'eaire \`a gauche alors que son \'equivalent
$\boxtimes$ au niveau des props ne l'est pas, les d\'efinitions et
les d\'emonstrations op\'eradiques ne sont pas
reconductibles au cas des props. \\

\medskip

\subsection*{Th\'eor\`eme principal}
Un enjeu principal en homologie alg\'ebrique est de pouvoir
trouver des r\'esolutions (les plus simples possibles) des objets
sur lesquels on travaille. La th\'eorie de dualit\'e de Koszul des
props apporte une solution \`a ce probl\`eme pour une large classe
de props. A tout prop \emph{gradu\'e} $\Po$, je construis un
\emph{coprop dual $\Po^{\ac}$} et je consid\`ere la cobar
construction sur $\Po^{\ac}$. Le principal th\'eor\`eme de la
dualit\'e de Koszul fournit un crit\`ere (acyclicit\'e d'un
``petit'' complexe $\Po^{\ac}\boxtimes \Po$, appel\'e
\emph{complexe de Koszul}) qui d\'etermine si la cobar
construction sur le dual $\Po^{\ac}$ est une r\'esolution quasi-libre du prop
de d\'epart $\Po$.


\begin{thm}[Crit\`ere de Koszul des props]
$ \ $

Soit $\Po$ un prop diff\'erentiel gradu\'e. Les propositions
suivantes sont \'equivalentes :
\begin{enumerate}

\item Le complexe de Koszul $\Po^{\ac}\boxtimes \Po$ est
acyclique.

\item Le morphisme de pros diff\'erentiels gradu\'es
${\B}^c(\Po^{\ac})\to \Po $ est un quasi-isomorphisme.

\end{enumerate}
\end{thm}

Lorsque c'est le cas, on dit que $\Po$ est un \emph{prop de
Koszul} et la r\'esolution $(2)$ fournit le
\emph{mod\`ele minimal} de $\Po$. \\

\subsection*{Lemme : Mono\"\i de libre}
Dans le premier chapitre de cette th\`ese, je d\'emontre un th\'eor\`eme 
qui fournit la construction du \emph{mono\"\i de libre} dans une cat\'egorie 
mono\"\i dale ab\'elienne. Cette construction est bien connue dans le cas 
o\`u le produit est bilin\'eaire, elle est donn\'ee par les mots. Le cas g\'en\'eral 
est plus compliqu\'e et a \'et\'e tr\`es peu 
\'etudi\'e. Gr\^ace \`a cette construction, j'obtiens notamment les notions 
d'\emph{op\'erade} et de \emph{prop libres}.\\

\subsection*{D\'efinitions}
Pour arriver \`a d\'emontrer ce th\'eor\`eme, je commence par 
g\'en\'eraliser les diff\'erentes d\'efinitions relatives aux alg\`ebres
associatives et aux op\'erades dans le cadre des
props (module, id\'eal).\\
\medskip

La dualit\'e de Koszul des op\'erades a vu le jour en 1994 gr\^ace
\`a l'invention par M. Kontsevich de la notion d'homolgie des
graphes (\emph{cf.} [K]). Les bords des diff\'erents complexes 
op\'eradiques
consid\'er\'es par V. Ginzburg et M.M. Kapranov dans [GK] sont
d\'efinis sur des arbres par des \emph{contractions d'ar\^etes}
(\emph{edge contraction}) et des \emph{d\'ecompositions de sommets}
(\emph{vertex expansion}), deux notions introduites par
M. Kontsevich dans [K]. \\

Afin de pouvoir d\'efinir les diff\'erents complexes (\emph{bar et
cobar constructions}, \emph{complexe de Koszul}) au niveau des
props, j'ai d\^u g\'en\'eraliser les d\'efinitions des
graphes-complexes de M. Kontsevich. Les constructions des
diff\'erents bords sur les graphes en jeu viennent de
d\'efinitions naturelles. Par exemple, le bord qui d\'efinit la
bar construction est donn\'e par l'unique cod\'erivation qui
prolonge le produit partiel (Chapitre 3 et 4).

\medskip

\subsection*{D\'emonstration}
Pour ce qui est de la d\'emonstration proprement dite, je prouve
que la bar construction augment\'ee est acyclique et que que la
construction bar-cobar fournit une r\'esolution du prop de
d\'epart.

\begin{thm}[Acyclicit\'e de la bar construction augment\'ee]
$\ $

Le complexe $\B(\Po)\boxtimes \Po$ est acyclique.
\end{thm}

\begin{thm}[R\'esolution bar-cobar]
$\ $

Pour tout prop diff\'erentiel gradu\'e $\Po$, le morphisme 
$\B^c(\B(\Po))\longrightarrow \Po$  
est un quasi-isomorphisme de props diff\'erentiels gradu\'es.
\end{thm}

Je d\'emontre le m\^eme type de lemmes de comparaison que  B.
Fresse (\emph{cf.} [F]) pour le produit $\boxtimes$. Puis, j'utilise
 ces lemmes pour ``simplifier'' la r\'esolution bar-cobar notamment. \\

Notons que les d\'emonstrations op\'eradiques ne sont pas reconductibles ici.
Pour d\'emontrer ce type de r\'esultat dans le cadre des props, j'introduis
 une graduation suppl\'ementaire  et
j'utilise des foncteurs analytiques issus du produit
$\boxtimes$ pour d\'ecomposer les diff\'erents complexes. (Chapitre 5 et 6).\\

\subsection*{Exemples}
En pratique, pour monter qu'un prop est de Koszul, il reste \`a
montrer que son complexe de Koszul est acyclique. J'introduis une
large classe de props, d\'efinis comme un ``m\'elange'' de
deux props $\mathcal{A}$ et $\mathcal{B}$ plus simples, pour lesquels 
je d\'emontre
qu'ils sont de Koszul si $\mathcal{A}$ et $\mathcal{B}$ le sont. Ce 
r\'esultat permet de prouver que le prop
$\BLi$ des big\`ebres de Lie (\emph{cf.} V. Drinfeld [D]) et que
le prop $\IBi$ des big\`ebres de Hopf infinit\'esimales
(\emph{cf.} M. Aguiar [A]) sont de Koszul.

\begin{thm}
Le prop $\BLi$ des big\`ebres de Lie et le prop $\IBi$ des
big\`ebres de Hopf 
infinit\'esimales sont de Koszul.
\end{thm}

\subsection*{Applications}
Suivant l'avis de J.-P. Serre dans [S], j'appelle \emph{g\`ebre} sur un 
prop $\Po$ la g\'en\'eralisation 
de la notion d'alg\`ebre sur une op\'erade. Par exemple, une 
g\`ebre sur le prop $\BLi$ est exactement une big\`ebre de Lie.\\
\medskip

\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Soit $\Po$ un prop de Koszul. Son dual $\Po^{\ac}$ permet de
d\'efinir la bonne th\'eorie homologique (pour la d\'eformation)
des g\`ebres sur $\Po$. Dans le cas des big\`ebres de Lie, on
trouve une th\'eorie proche de celle de  P. B. A. Lecomte et C. Roger [LR].\\

\item[$\bullet$] Une g\`ebre sur la
cobar construction de $\Po^{\ac}$ d\'efinit la notion de
\emph{$\Po$-g\`ebre \`a homotopie pr\`es}. 
Comme corollaire du th\'eor\`eme pr\'ec\'edent,
nous avons la notion de \emph{big\`ebre de Lie \`a homotopie pr\`es}.\\

\item[$\bullet$] En interpr\'etant la (co)bar construction de certains props 
de Koszul en termes de graphe-complexes, on peut calculer 
leur (co)homologie au sens de M. Kontsevitch . Dans les cas $\BLi$
et $\IBi$, on retrouve les m\^emes r\'esultats que [MV] sur la cohomologie des
graphes classiques ainsi que des graphes \emph{ribbons}. (Ces r\'esultats 
ont \'et\'e trouv\'es simultan\'ement par l'auteur).\\

\item[$\bullet$] Dans une derni\`ere partie, je g\'en\'eralise les
d\'efinitions des \emph{s\'eries de Poincar\'e} des alg\`ebres associatives et
des op\'erades aux props. J'\'etablis une \'equation
fonctionnelle qui relie la s\'erie de Poincar\'e d'un prop
de Koszul \`a celle de son dual.
\end{itemize}

\bigskip

Ces r\'esultats ont \'et\'e annonc\'es dans une note aux
C.R.A.S. : \emph{Koszul duality for PROPs} et ont donn\'e lieu \`a deux articles 
\emph{Koszul duality for props and homotopy $\Po$-gebras} et \emph{Free monoids in 
monoidal abelian categories}. \\

\bigskip

\begin{center}
\large 
\textsc{Pr\'epublication :}
\textbf{Homology of generalized partition posets}
\end{center}

\bigskip

Le but de cet article est de d\'ecrire une \'equivalence entre la th\'eorie 
des op\'erades et celle des ensembles partiellement ordonn\'es (\emph{posets}). \\

\subsection*{Introduction}
On consid\`ere l'ensemble des partitions de $\{1,\ldots,\, n\}$.
Cet ensemble peut \^etre muni d'une relation d'ordre partiel. Une
partition $\lambda$ est plus petite qu'une partition $\mu$
,$(\lambda\leq \mu)$, si $\mu$ est un raffinement de $\lambda$. 
Par exemple, 
on a $\left\{ \{1,\,3\},\,\{2,\,4\}\right\} \leq
\left\{ \{1\},\,\{3\},\,\{2,\,4\} \right\}$. Cet ensemble
partiellement ordonn\'e, important en topologie alg\'ebrique, 
est appel\'e le \emph{poset des partitions}
et not\'e $\Pi_n$. Son homologie est d\'efinie comme l'homologie
simpliciale des cha\^\i nes $\lambda_0\leq \cdots \leq \lambda_r$
de partitions. Comme le groupe sym\'etrique $\Sy_n$ agit naturellement
sur ce poset, son homologie est un module sur $\Sy_n$. 
Il a fallu plusieurs ann\'ees pour la calculer. 
Elle est concentr\'ee en dimension maximale et elle est
donn\'ee par la repr\'esentation du groupe sym\'etrique $\Sy_n$
d\'efinie par la dual lin\'eaire de la partie de degr\'e $n$ de 
l'alg\`ebre de Lie libre
sur $n$ g\'en\'erateurs tordue par la repr\'esentation signature : 
$\Li(n)^*\otimes sgn_{\Sy_n}$.
En 2003, B. Fresse a montr\'e dans [F] que ce r\'esultat \'etait une
cons\'equence directe de la dualit\'e de Koszul des op\'erades. 
Le poset des partions est construit \`a partir
de l'op\'erade $\mathcal{C}om$ des alg\`ebres commutatives et son
homologie est donn\'ee par sa duale : $\Li$.\\

\subsection*{Construction}
A toute op\'erade ensembliste $\Po$, j'associe une famille de posets
$(\Pi_\Po(n))_{n\in\mathbb{N}^*}$ du type partition. \\


\subsection*{Th\'eor\`eme principal}
On dit qu'un poset $\Pi$ est de \emph{Cohen-Macaulay} si l'homologie 
de tout intervalle de $\Pi$ est concentr\'ee en dimension maximale. Le principal 
r\'esultat de cet article affirme que l'op\'erade $\Po$ est de Koszul si et
seulement si tout poset de la famille $(\Pi_\Po(n))_{n\in\mathbb{N}^*}$ est de 
Cohen-Macaulay.

\begin{thm}
Soit $\Po$ une op\'erade ensembliste. 

L'op\'erade $\Po$ est de Koszul sur $\mathbb{Z}$ si et seulement si tout poset de 
la famille $(\Pi_\Po(n))_{n\in\mathbb{N}^*}$ est de Cohen-Macaulay. Dans ce cas, 
on a 
$$H_*(\Pi_\Po(n))\cong
\left\{
\begin{array}{ll}
\Po^{\ac}(n)& \textrm{si} \ *=n-1 \\
0 & \textrm{sinon.}
\end{array}\right.$$
\end{thm}

\subsection*{Applications}
$ \ $
\medskip

\begin{itemize}
\item[$(\Rightarrow)$] Dans un sens, ce th\'eor\`eme permet de calculer explicitement 
l'homlogie de posets du type partition. Si $\Pi(n)$ est un poset associ\'e \`a 
une op\'erade $\Po$ de Koszul alors on sait que l'homologie de $\Pi(n)$ est 
concentr\'ee en dimension maximale. De plus, le dernier groupe d'homologie 
(non nul) est isomorphe, en tant que repr\'esentation du groupe sym\'etrique $\Sy_n$, 
\`a la duale de Koszul $\Po^{\ac}(n)$.\\
\smallskip

\item[$(\Leftarrow)$] Dans l'autre sens, ce r\'esultat est un outil efficace pour
montrer qu'une op\'erade est de Koszul (sur $\mathbb{Z}$ ou sur tout corps 
$k$). Pour montrer qu'une op\'erade $\Po$ est de Koszul, il suffit de voir si 
les posets $\Pi_\Po(n)$ sont de Cohen-Macaulay. Pour cela, on peut utiliser les
diff\'erents crit\`eres combinatoires mis au jour par A. Bj\"orner et M. Wachs 
dans [BW] notament. 
\end{itemize}


\bigskip

\begin{center}
\large 
\textsc{Pr\'epublication :}
\textbf{Pointed and multi-pointed partitions of type A and B}
\end{center}

\bigskip

Dans cet article, r\'edig\'e en collaboration avec Fr\'ed\'eric Chapoton, nous 
introduisons et \'etudions les posets des partitions pointees et 
multi-pointees en type A et B (dans la classification des groupes de 
Coxeter finis).

\subsection*{Introduction}

Pour tout groupe de Weyl $W$, il existe une famille de posets du type partition 
d\'efinis par les arrangements d'hyperplans du type $W$. Dans le cas $A_{n-1}$ 
on retrouve les posets des partitions de $\{1,\ldots,\, n\}$. Une famille 
de posets de partitions point\'ees et une famille de posets de partitions 
multi-point\'ees apparaissent naturellement de la th\'eorie des op\'erades 
gr\^ace \`a la correspondance donn\'ee dans l'article pr\'ec\'edent. Une des 
motivations de cet article est qu'il doit exister une famille de posets 
de partitions point\'ees et multi-point\'ees pour tout groupe de Weyl. 

\subsection*{D\'efinition} En plus des posets de partitions point\'ees et
multi-point\'ees du type A, nous proposons une d\'efinition pour le poset des 
partitions point\'ees du type B. Ces posets poss\`edent de bonnes propri\'et\'es 
pour l'action du groupe de Weyl du type B.

\subsection*{Polyn\^omes caract\'eristiques et alg\`ebre d'incidence}
On calcule les polyn\^omes caract\'eristiques de ces diff\'erents posets. 
Remarquons que ces polyn\^omes caract\'eristiques sont les m\^emes que ceux de 
certains posets associ\'es \`a des arrangements d'hyperplans, ce qui laisse 
penser qu'il existe un lien avec cette th\'eorie. 
Comme toutes les familles de posets \'etudi\'ees ici partagent une bonne
propri\'et\'e pour le produit (on dit qu'elles sont \emph{h\'er\'editaires}), 
on peut leur associer une alg\`ebre de Hopf d'incidence, que nous d\'ecrivons. 

\subsection*{Homologie} Nous montrons que tous les posets \'etudi\'es ici sont 
totalement semi-modulaires. Ce crit\`ere combinatoire implique que ces posets
sont de Cohen-Macaulay sur $\mathbb{Z}$. En utilisant le principal th\'eor\`eme de
l'article pr\'ec\'edent , on obtient que les op\'erades $\mathcal{P}erm$ et
$\mathcal{C}omtrias$ sont de Koszul sur $\mathbb{Z}$ et on explicite l'homologie
des posets de partitions point\'ees et multi-point\'ees gr\^ace aux duales de
Koszul de ces op\'erades. 

\bigskip
\bigskip

\begin{center}
{\bf \sc R\'ef\'erences de l'auteur}
\end{center}

\bigskip

{\footnotesize 
\begin{tabbing}
 $[$1$]$  \= \emph{Koszul duality for PROPs}, 
 C. R. Math. Acad. Sci. Paris \textbf{338} 
(2004), no. 12, 909-914. \\

$[$2$]$ \> \emph{Dualit\a'e de Koszul des PROPs}, Th\a`ese de
doctorat (d\a'ecembre 2003), pr\a'epublication IRMA, \\
\>
\texttt{http://www-irma.u-strasbg.fr/irma/publications/2003/03030.shtml}\\
$[$3$]$ \> \emph{Koszul duality for props and $\Po$-gebras up to homotopy}, 
pr\a'epublication,\\

$[$4$]$ \> \emph{Free monoids in monoidal abelian categories}, pr\a'epublication,\\

$[$5$]$ \> \emph{Homology of generalized partition posets}, pr\a'epublication,\\
\>
\texttt{http://www.arxiv.org/abs/math.AT/0405312}\\

$[$6$]$ \> \emph{Pointed and multi-pointed partitions of type A and B}, pr\a'epublication,\\
\>
\texttt{http://www.arxiv.org/abs/math.QA/0410051}

\end{tabbing} }



\bigskip

\begin{center}
{\bf \sc R\'ef\'erences}
\end{center}

\bigskip

{\footnotesize [A] $\, $
M. Aguiar, \emph{Infinitesimal Hopf algebras}, Contemporary
Mathematics \textbf{267} (2000) 1-30.\\

[BGS]  $\, $
A. Beilinson, V. Ginzburg, W. Soergel, \emph{Koszul duality
patterns in representation theory}, J. Amer. Math. Soc. \textbf{9}
(1996), no. 2, 473-527. \\

[BW] $\, $ A. Bj\"orner, M. Wachs, \emph{On lexicographically shellable posets},  
Trans. Amer. Math. Soc.  \textbf{277}  (1983), no. 1, 323-341.  \\

[D]  $\, $
V. Drinfeld, \emph{Hamiltonian structures on Lie groups, Lie
bialgebras and the geometric meaning of classical Yang-Baxter
equations}, Soviet Math. Dokl. \textbf{27} (1983), no. 1, 68-71.\\

[F]   $\, $ B. Fresse, \emph{Koszul duality of operads and homology of
partition posets}, preprint \texttt{arXiv:math.AT/0301365} (2003).\\

[K]   $\, $ M. Kontsevich, \emph{Formal (non)commutative symplectic
geometry}, The Gelfand Mathematical 
Seminars,  1990-1992, 173-187, Birkh�user Boston, Boston, MA,
1993.\\

[LR] $\,$ 
P. B. A. Lecomte, C. Roger, \emph{Module et cohomologie des big\`ebres de Lie}, 
C. R. Acad. Sci. Paris S\'erie I \textbf{310} (1990), 405-410.


[GK]  $\, $  V. Ginzburg, M.M. Kapranov, \emph{Koszul duality for operads},
Duke Math. J. \textbf{76} (1995), 203-272. \\

[MV]  $\, $ M. Markl, A. A. Voronov, \emph{PROPped up graph cohomology},
preprint
 \texttt{arXiv:math.QA/0307081} (2003).   \\

[S] $\, $ J.-P. Serre, \emph{G\`ebres}, Enseign. Math. (2) \textbf{39}
(1993), no. 1-2, 33-85.}





\newpage

\fancyhead{}
 \fancyhead[RO]{\MakeUppercase{\bf 8. Projet de recherche}}
 \fancyhead[LE]{\MakeUppercase{\bf 8. Projet de recherche}}

$\ $



Mon projet de recherche s'inscrit dans
quatre grandes directions.



\begin{enumerate}
\item Etude des applications possibles de la dualit\'e 
de Koszul des props
d\'emontr\'ee dans ma th\`ese. J'esp\`ere trouver de nouveaux
types de ``big\`ebres'' (g\`ebres) et utiliser la dualit\'e de Koszul
des props en topologie alg\'ebrique et en alg\`ebre quantique (structures
\`a homotopie pr\`es, d\'eformation).

\item Homologie des graphes de Kontsevich.

\item G\'en\'eralisation des constructions des alg\`ebres de
Hopf de Connes-Kreimer et \'etude de leurs propri\'et\'es et des liens avec
les diagrammes de Feynman.

\item R\'esolutions de probl\`emes li\'es aux polytopes convexes 
et \`a la th\'eorie des repr\'esentations.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
\large \bf 1. Dualit\'e de Koszul des props \\
en topologie alg\'ebrique et alg\`ebre quantique\\
\end{center}

\bigskip

\subsection*{Introduction}
Un probl\`eme important en topologie alg\'ebrique r\'eside dans le calcul
de groupes d'homologie et d'homotopie. Pour cela, on essaie
souvent de montrer que ces groupes poss\`edent des structures
alg\'ebriques suppl\'ementaires. Par exemple, on peut d\'efinir un
produit sur les groupes de cohomologie singuli\`ere ou simpliciale, 
appel\'e \emph{cup produit}, qui conf\`ere \`a ces groupes une
structure d'alg\`ebre associative. De la m\^eme mani\`ere, les
groupes de cohomologie de Hochschild $HH^*(A,\, A)$ d'une alg\`ebre
associative $A$  sont munis d'une structure d'alg\`ebre de
Gerstenhaber.\\

\medskip

Les premi\`eres structures alg\'ebriques \`a avoir \'et\'e
\'etudi\'ees sont celles des alg\`ebres (alg\`ebres associatives,
alg\`ebres commutatives, alg\`ebres de Lie). Ces alg\`ebres sont
compos\'ees de produits, c'est-\`a-dire d'op\'erations \`a
plusieurs entr\'ees et une seule sortie. On sait, depuis les
ann\'ees 70, que les op\'erations agissant sur un certain type
d'alg\`ebre peuvent \^etre mod\'elis\'ees par un autre objet
alg\'ebrique : les \emph{op\'erades}. On appelle alg\`ebre sur une
op\'erade $\Po$ : une \emph{$\Po$-alg\`ebre}. Il existe des
op\'erades $\mathcal{A}s$, $\mathcal{C}om$, $\mathcal{L}ie$ telles
que la notion de $\mathcal{A}s$-alg\`ebre corresponde \`a celle
d'alg\`ebre associative, celle de $\mathcal{C}om$-alg\`ebre
corresponde \`a celle d'alg\`ebre commutative, etc ... Cette prise
de hauteur au niveau des structures alg\'ebriques s'est
r\'ev\'el\'ee tr\`es fructueuse ces derni\`eres ann\'ees.\\

\medskip

La d\'ecouverte des groupes
quantiques (\emph{cf.} \cite{Drinfeld}) a mis au jour et
popularis\'e des structures alg\'ebriques m\'elangeant produits et
coproduits (c'est-\`a-dire des op\'erations avec plusieurs sorties). 
C'est le cas des big\`ebres et des big\`ebres de Lie ,
par exemple. Le cadre des op\'erades ne permet pas de traiter de
tels objets. Pour mod\'eliser les op\'erations \`a plusieurs
entr\'ees et sorties agissant sur un certain type de ``big\`ebres'',
on utilise un autre objet alg\'ebrique : les \emph{props}
(\emph{cf.} \cite{V}). Suivant l'avis de J.-P. Serre \cite{Serre},
j'appelle une ``alg\`ebre'' sur un prop $\Po$ : une
\emph{$\Po$-g\`ebre}.\\

\subsection*{Nouveaux types de g\`ebres}
Les op\'erades ont connu un regain d'int\'er\^et gr\^ace \`a la
th\'eorie de la dualit\'e de Koszul d\'evelopp\'ee dessus, il y a
10 ans par V. Ginzburg et M.M. Kapranov \cite{GinzburgKapranov}.
J'ai g\'en\'eralis\'e cette th\'eorie de dualit\'e de Koszul
aux PROPs dans ma th\`ese \cite{V}. Je propose
maintenant de chercher \`a obtenir le m\^eme type de r\'esultats
que ceux obtenus gr\^ace aux op\'erades.\\

\medskip

La dualit\'e de Koszul des op\'erades s'est
r\'ev\'el\'ee \^etre une m\'ethode tr\`es efficace pour trouver de
nouveaux types d'alg\`ebres (\emph{cf.} \cite{Loday}). Dans le
m\^eme esprit, je veux mettre \`a profit la th\'eorie de
dualit\'e de Koszul des props pour d\'ecouvrir des nouveaux types
de g\`ebres. (D\'ej\`a dans ma th\`ese, le prop dual 
de celui des big\`ebres de Lie donnait un
nouveau type de g\`ebre).\\



\subsection*{Conjecture de Chas-Sullivan}
Un des principaux enjeux en topologie alg\'ebrique est de
``remonter'' une structure alg\'ebrique, pr\'esente au niveau des
groupes d'homologie, sur le complexe de cha\^\i nes. Pour pouvoir
faire cela, on a besoin de rel\^acher les relations alg\'ebriques
v\'erifi\'ees en homologie. Ainsi, apparait la notion de
$\Po$-alg\`ebre \emph{\`a homotopie pr\`es}. Le premier exemple
vient des espaces de lacets. La composition des lacets fournit un
produit associatif \`a homotopie pr\`es mais qui devient
strictement associatif en homologie. Le probl\`eme est de savoir
comment d\'efinir la notion \'equivalente ``\`a homotopie
pr\`es''. Une r\'eponse est donn\'ee par la dualit\'e de Koszul
des op\'erades. Pour une op\'erade de Koszul $\Po$, une
$\Po$-alg\`ebre \`a homotopie pr\`es , not\'ee
\emph{$\Po_\infty$-alg\`ebre} est une alg\`ebre sur le
\emph{mod\`ele minimal} de $\Po$ (\`a savoir la cobar construction
sur la coop\'erade duale $\Po^{\ac}$). Un autre exemple
c\'el\`ebre vient de la conjecture de Deligne qui affirme que le
complexe de cocha\^\i nes de Hochschild $C^*(A,\, A)$ est muni
d'une structure d'alg\`ebre de Gerstenhaber \`a homotopie pr\`es
(\emph{cf.} C. Berger, B. Fresse \cite{BF}).\\

\medskip

En g\'en\'eralisant la d\'emarche op\'eradique, j'ai 
d\'efini dans ma th\`ese la notion de \emph{$\Po$-g\`ebre \`a
homotopie pr\`es}. Mon but est maintenant de d\'emontrer que des
structures de $\Po$-g\`ebres au niveau homologique se rel\`event en
des structures de $\Po$-g\`ebre \`a homotopie pr\'es sur les
complexes de cha\^\i nes. Dans le cadre de la topologie des cordes 
une  structure de
\emph{big\`ebre de Lie \`a involution} 
(c'est-\`a-dire un type particulier de big\`ebre de Lie) a \'et\'e trouv\'ee
par M. Chas et D. Sullivan \cite{ChasSullivan} sur les groupes
d'homologie \'equivariante r\'eduite de l'espace des lacets libres
d'une vari\'et\'e de dimension quelconque. Comme le prop des big\`ebres de Lie 
\`a involution est un prop de Koszul (\emph{cf.} \cite{V}), je donne comme 
corollaire dans ma 
th\`ese la d\'efinition des big\`ebres de Lie \`a involution \`a homotopie
pr\`es. On peut \'enoncer pr\'ecis\'ement 
leur conjecture :

\begin{conj}[\rm [CS$\rbrack$]
L'espace de lacets libres d'une vari\'et\'e de dimension
quelconque admet une structure de big\`ebre de Lie combinatoire
\`a homotopie pr\`es.
\end{conj}

Une premi\`ere piste pour d\'emontrer ce type de conjectures et de
montrer la formalit\'e de certains props, comme pour les op\'erades des petits
disques, dans le cadre de la conjecture de Deligne (\emph{cf.} 
M. Kontsevich \cite{K}). (On dit qu'un
objet est \emph{formel} lorsqu'il est quasi-isomorphe \`a sa
cohomologie).\\

\subsection*{Homologie des $\Po$-g\`ebres}
La prise de hauteur apport\'ee par la dualit\'e de
Koszul des op\'erades a permis de comprendre comment construire
une th\'eorie homologique naturelle pour les $\Po$-alg\`ebres.
Pour toute $\Po$-alg\` ebre $A$, l'homologie op\'eradique de $A$
est d\'efinie sur l'espace $H^\Po_*(A):=\Po^{\ac}(A)$ par un bord qui
vient de la structure de coop\'erade de $\Po^{\ac}$. Par exemple,
dans le cas $\mathcal{A}s$, on retrouve l'homologie de Hochschild
et  dans le cas $\mathcal{L}ie$, on retrouve l'homologie de
Chevalley-Eilenberg. Il est bien connu que l'homologie de
Hochshild d'une alg\`ebre associative $A$ mesure les
d\'eformations possibles de $A$ (\emph{cf.} \cite{K}).
Plus g\'en\'eralement, on peut montrer que  l'homologie
op\'eradique $H^\Po_*(A)$ d'une $\Po$-alg\`ebre mesure les
\emph{d\'eformations} possibles de $A$ en tant que
$\Po$-alg\`ebre, par exemple en montrant que l'espace des
\emph{d\'erivations} de $\Po^{\ac}(A)$ est muni d'une structure
d'alg\`ebre de Lie et en \'etudiant une telle structure. Il reste maintenant 
\`a g\'en\'eraliser cette d\'emarche aux props et aux g\`ebres sur un
prop de Koszul, gr\^ace au travail effectu\'e dans ma th\`ese.

\subsection*{Cat\'egories mod\`eles ferm\'ees}
Plus g\'en\'eralement, le bon cadre d'\'etude pour les th\'eories
homotopiques est celui des \emph{cat\'egories mod\`eles ferm\'ees}
de D. Quillen \cite{Quillen}. Gr\^ace \`a la dualit\'e de Koszul
des op\'erades, on sait que la cat\'egorie des op\'erades connexes
et celle des alg\`ebres diff\'erentielles gradu\'ees sur une
op\'erade de Koszul sont des cat\'egories mod\`eles ferm\'ees. Je
propose donc de r\'einterpr\'eter les r\'esultats de ma
th\`ese, notamment les diff\'erentes r\'esolutions homologiques
des prop\'erades (objets plus petits que les props mais qui suffisent 
\`a coder compl\'etement certains types de g\`ebres)
 dans ce cadre et de montrer la conjecture suivante :

\begin{conj}
$ \ $
\begin{tabbing}
$\quad$ \= $\bullet$ \= La cat\a'egorie des prop\a'erades connexes est une cat\a'egorie 
mod\a`ele ferm\a'ee.\\
\> $\bullet$ \> La cat\a'egorie des $\Po$-g\a`ebres sur
une prop\a'erade de Koszul est une cat\a'egorie mod\a`ele ferm\a'ee.
\end{tabbing}
\end{conj}

\newpage

\begin{center}
 \bf \large 2. Graphe homologie d'apr\`es Kontsevich
\end{center}

\bigskip

\subsection*{Homologie des graphes}
Suivant la m\^eme d\'emarche que Loday-Quillen-Tsygan, M.
Kontsevich a montr\'e en 1994 que l'homologie des champs de
vecteurs symplectiques (alg\`ebre de Lie de dimension infinie) est
isomorphe \`a l'homologie de certains graphes finis (\emph{cf.}
\cite{K2}). \\

\bigskip

Depuis les travaux de E. Getzler et M. M. Kapranov \cite{GeK}, on sait
qu'\`a toute op\'erade cyclique ou modulaire, on peut associer un
type de graphe et une homologie particuli\`ere. Dans le cas de
l'op\'erade $\C$, on retrouve les graphes \emph{commutatifs} de
Kontsevich. Dans le cas $\A$, on trouve les graphes \emph{rubans} dont
l'homologie est reli\'ee aux espaces modulaires et aux espaces de
Teichm\"uller  et dans le cas $\Li$, on trouve des
graphes dont
l'homologie correspond \`a l'homologie du groupe des automorphismes
ext\'erieurs du groupe libre.\\

\medskip

Il reste \`a calculer l'homologie de ces diff\'erents graphes. Peu de 
choses sont connues sur cette homologie.
M. Kontsevich conjecture qu'elle est de type fini. 

\subsection*{Calcul de l'homologie de certaines familles de graphes}
Les r\'esultats de ma th\`ese peuvent \^etre interpr\'et\'es en terme d'homologie 
des graphes. Un graphe
\emph{dirig\'e} est un graphe o\`u l'orientation des ar\^etes est
impos\'ee par un flot global (du haut vers le bas, par exemple).
Les graphes dirig\'es du type commutatif sont construits \`a
partir du prop dual de celui des big\`ebres de Lie, $\BLi^!$. Comme
ce PROP est une \emph{diop\'erade} (toutes les compositions
d'op\'erations faisant appara\^\i tre des graphes de genre
strictement positif sont nulles), le bord de la bar construction
correspond au bord de l'homologie des graphes de Kontsevich. J'ai 
montr\'e que le prop $\BLi$ est de Koszul. Comme corollaire,
on obtient que l'homologie des graphes dirig\'es du type
commutatif est \'egale au prop $\BLi$.\\

\medskip

Le bon cadre d'\'etude pour l'homologie des graphes semble \^etre 
celui des props et non des op\'erades cycliques. Dans le cas des
graphes dirig\'es, leur homologie est donn\'ee par la dualit\'e de
Koszul des props. La seule diff\'erence entre les graphes
dirig\'es et les graphes de Kontsevich vient des signes qui
d\'efinissent le bord des complexes. Le but est maintenant
d'utiliser le calcul de l'homologie dans le cas dirig\'e pour
\'etudier le cas g\'en\'eral. 

Ce type de r\'esultat a des cons\'equences
 dans les domaines cit\'es
pr\'ec\'edement (espaces modulaires, espaces de Teichm\"uller,
automorphismes ext\'erieurs du groupe libre) que je souhaite \'etudier.\\

\bigskip

\begin{center}
\bf \large 3. Alg\`ebres de Hopf et Diagrammes de Feynman
\end{center}

\bigskip

\subsection*{Introduction}
Dans le cadre de la th\'eorie quantique des champs, on est amen\'e
\`a \'etudier des quantit\'es li\'ees aux int\'egrales de Feynman
qui ne sont pas toujours convergentes. Dans les ann\'ees 50 et 60,
N.N. Bogoliubov,  O.S. Parasiuk et K. Hepp, W. Zimmermann ont mis
au point un proc\'ed\'e combinatoire, bas\'e sur les diagrammes de
Feynman, qui permet d'extraire des quantit\'es finies de telles
int\'egrales. Ce processus de renormalisation a connu un
regain d'int\'er\^et dans les derni\`eres ann\'ees gr\^ace aux
travaux d'Alain Connes et de Dirk Kreimer \cite{ConnesKreimer}.
Ces derniers ont d\'ecrit ce processus de mani\`ere alg\'ebrique
gr\^ace \`a la th\'eorie des alg\`ebres de Hopf. D'abord, D.
Kreimer a construit une alg\`ebre de Hopf sur les arbres
enracin\'es et a reli\'e l'antipode de cette alg\`ebre au
processus de renormalisation. Ensuite, A. Connes et D. Kreimer ont
contruit une alg\`ebre de Hopf sur les diagrammes de Feynman et
ont d\'ecrit ce processus gr\^ace \`a la d\'ecomposition de
Birkhoff des alg\`ebres de Hopf.

\medskip

\subsection*{Construction g\'en\'erale et conjecture}
Il apparait que ces alg\`ebres de
Hopf sont construites suivant un sch\'ema particulier. Elles sont
de la forme $T(\mathcal{C})$, alg\`ebre tensorielle libre sur une
coop\'erade $\mathcal{C}$ ou de la forme duale $T^c(\mathcal{P})$,
cog\`ebre tensorielle colibre connexe sur une op\'erade $\Po$.
 Gr\^ace au produit mono\"\i dal $\boxtimes$ que j'ai introduit
dans \cite{V} pour d\'ecrire les compositions d'op\'erations \`a
plusieurs entr\'ees et sorties et mieux comprendre la notion de
prop, on peut g\'en\'eraliser la construction pr\'ec\'edente et
consid\'erer des alg\`ebres de Hopf de la forme $T(\mathcal{C})$,
o\`u $\mathcal{C}$ est un coprop, ou de la forme duale $T^c(\Po)$,
o\`u $\Po$ est un prop. De telles alg\`ebres de Hopf poss\`edent
de bonnes propri\'et\'es :

\begin{conj}
L'alg\`ebre tensorielle libre $H=T(\mathcal{C})$ sur un coprop $\mathcal{C}$ est 
une alg\`ebre de Hopf autoduale $H\cong H^*$ et sa partie primitive est donn\'ee par 
$Prim(H)=\mathcal{C}$.
\end{conj}

J'esp\`ere en trouver d'autres, notamment en m'inspirant des
travaux r\'ecents eff\'ectu\'es par J.-L. Loday et M. Ronco
\cite{LodayRonco} sur les alg\`ebres de Hopf colibres. Sachant que
les diagrammes de Feynman ne sont pas seulement munis de
structures d'op\'erades mais de props, j'entends leur appliquer
cette construction et chercher des applications en physique
th\'eorique.

\bigskip

\begin{center}
\bf \large 4. Polytopes et Repr\'esentation
\end{center}

\bigskip

\subsection*{Introduction}
Il existe deux familles de polytopes convexes appel\'ees
respectivement \emph{permuto\`edres} et \emph{associa\`edres}. Les
faces des permuto\`edres sont indic\'ees par les arbres binaires
planaires \`a niveaux, alors que les faces des associa\`edres sont
indic\'ees par les arbres binaires planaires sans niveau. On peut
donc facilement d\'ecrire une projection du permuto\`edre de
dimension $n$ sur l'associa\`edre de dimension $n$, en oubliant
les niveaux des arbres. Cette projection poss\`ede de bonnes propri\'et\'es. 
En particulier, elle pr\'eserve les ordres partiels.\\


\subsection*{G\'en\'eralisation}
Cet exemple correspond au cas $A_n$ dans la
classification des groupes de Coxeter. (Les arbres binaires
planaires \`a niveaux peuvent \^etre mis en bijection avec les
permutations du groupe sym\'etrique). Dans le cas $B_n$, les \emph{hyperocto\`edres}
remplacent les permuto\`edres et les \emph{cyclo\`edres}
remplacent les associa\`edres. Plus g\'en\'eralement, F. Chapoton,
S. Fomin et A. Zelevinsky ont propos\'e des familles de polytopes
pour tous les types de syst\`emes de racines dans
\cite{ChapotonFominzelevinsky}. Il reste \`a \ \'etudier comment
g\'en\'eraliser les diff\'erents ordres partiels et comment
d\'ecrire une
projection qui les respecte.\\

\subsection*{Diagonales sur les permuto\`edres et associa\`edres}
Un autre probl\`eme, li\'e aux familles des permuto\`edres et des
associa\`edres, r\'eside dans la construction d'une
diagonale sur chaque polytope. Une r\'eponse peu explicite
a \'et\'e donn\'ee par S. Saneblidze et R. Umble dans
\cite{SaneblidzeUmble}. Les auteurs d\'ecrivent une diagonale 
sur le permuto\`edre puis la proj\`ettent en une diagonale sur l'associa\`edre.
Une telle construction est tr\`es utile. Elle permet notamment de d\'efinir 
le produit de deux alg\`ebres 
associatives \`a homotopie pr\`es.\\

\medskip

Il existe une construction g\'eom\'etrique d'une telle diagonale.
Je cherche maintenant \`a la comprendre alg\'ebriquement en termes
de repr\'esentations du groupe sym\'etrique.

\begin{thebibliography}{99}

\bibitem[BF]{BF}
C. Berger, B. Fresse, \emph{Combinatorial operad actions on cochains,}  
Math. Proc. Cambridge Philos. Soc.  \textbf{137}  (2004),  no. 1, 135-174.

\bibitem[CFZ]{ChapotonFominzelevinsky}
F. Chapoton, S. Fomin, A. Zelevinsky, \emph{Polytopal realizations
of generalized associahedra}, Canad. Math. Bull. \textbf{45}
(2002),  no. 4, 537-566.

\bibitem[CK]{ConnesKreimer}
A. Connes, D. Kreimer, \emph{Hopf algebras, renormalization and
noncommutative geometry}, Comm. Math. Phys.  \textbf{199} (1998),
203-242.

\bibitem[CS]{ChasSullivan}
M. Chas, D. Sullivan, \emph{Closed string operators in topology
leading to Lie bialgebras and higher string algebra}, preprint
\texttt{arXiv:math.GT/0212358} (2002).

\bibitem[D]{Drinfeld}
V. G. Drinfel'd, \emph{Quantum groups}, in Proceedings of the
International Congress of Mathematicians, Vol. 1, 2 (Berkeley
Calif.), (1986) Providence, RI, (1987), Amer. Math. Soc. 798-820.

\bibitem[GK]{GinzburgKapranov}
V. Ginzburg, M.M. Kapranov, \emph{Koszul duality for operads},
Duke Math. J. \textbf{76} (1995), 203-272.

\bibitem[GeK]{GeK}
E. Getzler, M.M. Kapranov, \emph{Modular operads},
Compositio Math.  \textbf{110}  (1998),  no. 1, 65-126. 

\bibitem[K1]{K}
M., Kontsevich, \emph{Operads and motives in deformation
quantization}, Lett. Math.
 Phys.  \textbf{48}  (1999),  no. 1, 35-72.

\bibitem[K2]{K2}
M. Kontsevich, \emph{Formal (non)commutative symplectic
geometry}, The Gelfand Mathematical 
Seminars,  1990-1992, 173-187, Birkh�user Boston, Boston, MA,
1993.

\bibitem[L]{Loday}
J.-L. Loday, \emph{Dialgebras an related operads}, Lecture Notes
in Math. \textbf{1763}, Springer-Verlag, 2001.

\bibitem[LR]{LodayRonco}
J.-L. Loday, M. Ronco, \emph{On the structure of cofree Hopf algebras}, 
preprint \texttt{http://www.arxiv.org/abs/math.QA/0405330}

\bibitem[Q]{Quillen}
D. Quillen, \emph{Homotopical algebra}, Lecture Notes in Math.
\textbf{43}, Springer-Verlag, 1967.

\bibitem[SU]{SaneblidzeUmble}
S. Saneblidze, R. Umble, \emph{Diagonals on the Permutahedra,
Multiplihedra and Associahedra}, preprint,
\texttt{arXiv:math.AT/0209109} (2002).

\bibitem[S]{Serre}
J.-P. Serre, \emph{G\`ebres}, Enseign. Math. (2) \textbf{39}
(1993), no. 1-2, 33-85.

\bibitem[V]{V}
B. Vallette, \emph{Dualti\'e de Koszul des PROPs}, Th\`ese
\texttt{http://www-irma.u-strasbg.fr/$\sim$vallette/these.ps}.

\end{thebibliography}

\end{document}
