Projet PerCoLaTor

 

L'objectif principal du projet consiste à développer les interactions entre les perfectoïdes, la cohomologie complétée, la correspondance de Langlands $p$-adique et la cohomologie de torsion (étale ou cohérente). Ces sujets sont actuellement en pleine ébullition, citons quelques pistes de recherches.

- On voudrait comprendre les articulations entre la théorie de Langlands $p$-adique et les théories $p$-adiques des formes modulaires telles qu'elles peuvent être définies par la notion de surconvergence ou via la cohomologie complétée. Par ailleurs les liens entre la courbe de Fargues-Fontaine et la construction de Colmez, restent à élucider.

- En ce qui concerne les problèmes de modularité, il devrait être possible d'attaquer le cas non régulier et ceux pour lesquels il n'existe pas de variétés de Shimura.

- Dans une autre direction, certains membres du projet se proposent d'explorer les liens entre d'un côté les fonctions $L$ $p$-adiques et de l'autre la théorie d'Iwasawa,les images des représentations galoisiennes.

- Dans un récent papier, Scholze compare la cohomologie des variétés de Shimura en niveau infini à celle de la cohomologie complétée d'Emerton, ce qui en utilisant les stratifications de Harder-Narasimhan de Fargues, devrait donner un dévissage naturel de la cohomologie complétée des variétés de Shimura, le lieu non-semi-stable étant par exemple paraboliquement induit.

- Enfin la construction de classes de torsion dans la cohomologie des variétés de Shimura devrait désormais trouver des applications arithmétiques intéressantes.