Rencontre "Combinatoire, Opérades et Probabilités" à Paris 13

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Programme

Résumés

• "Approche homotopique des probabilités non-commutatives d'après Drummond-Cole--Park--Terilla" [Bruno Vallette, Université Paris 13]
  Le but de cet exposé est d'offrir un résume aussi élémentaire que possible de l'approche homotopique proposée par Drummond-Cole--Park--Terilla des cumulants apparaissant en probabilité non-commutative. Le point principal consiste à interpréter ces derniers comme des infini-morphismes des algèbres à homotopie près sur certaines opérades de Koszul. On retrouve alors toutes les formules de cumulants des probabilités non-commutative à l'aide des formules d'inversion des infini-isomorphismes et de l'action du groupe de jauge de la théorie de la déformation des algèbres à homotopie près. Aucun prérequis n'est nécessaire pour suivre cet exposé; toutes les notions seront rappelées, ce qui permettra aussi de servir d'introduction aux autres exposés de la journée.


• "Des séries en arbres aux séries de type Dirichlet" [Frédéric Chapoton, Université de Strasbourg]
  Je présenterai deux séries en arbres particulières qui jouent un rôle comparable à celui de l'exponentielle et du logarithme, et qui apparaissent naturellement en analyse numérique. J'expliquerai ensuite comment une déformation du "logarithme en arbres" est motivée par certaines considérations algébriques. Je donnerai une description des coefficients de ce q-logarithme en arbres en termes de certains polytopes, et éventuellement la relation entre certains de ces coefficients et des séries de type Dirichlet.


• "Sur une généralisation des probabilités libres en matrices aléatoires" [Camille Male, Université Paris Descartes]
  Certains modèles de matrices aléatoires hermitiennes ont la propriété de se diagonaliser dans une base qui n'est pas "asymptotiquement uniformément distribuée" lorsque la taille des matrices tend vers l'infini, contrairement aux matrices classiques de Wigner ou de Wishart. En conséquence, les distributions asymptotiques de valeurs propres de polynômes hermitiens en de telles matrices indépendantes diffèrent parfois des prédictions données par les probabilités libres.
  Un espace de probabilités non commutatif étant une algèbre munie d'une forme linéaire, nous verrons qu'il est possible grace aux opérades d'introduire une notion de variable non commutative plus riche qui permet de calculer les moments de ces distributions dans des cas variés. Les résultats sont exprimés en termes d'une notion d'indépendance qui unifie l'indépendances classique (tensorielle), l'indépendance libre de Voiculescu et encode également d'autres relations.


• "Cumulants libres non-commutatifs" [Jean-Yves Thibon, Université Paris-Est Marne-la-Vallée]
  L'équation fonctionnelle définissant les cumulants libres dans le cas d'une seule variable aléatoire peut être relevée successivement à l'algèbre de Faà di Bruno non-commutative, puis au groupe d'une opérade libre. La solution de cette équation prend en compte le cas d'une mesure à valeurs opératorielles, et redonne la formule de Speicher dans le cas d'une mesure scalaire. On peut aussi interpréter cette équation comme une généralisation de celle d'Ebrahimi-Fard et Patras.

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