ANR SAT

 Structures supérieures en Algèbre et Topologie




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Membres

Activités

La liste des activités organisées se trouve ici.

Travaux accomplis

La liste des travaux accomplis dans le cadre de ce projet se trouve ici.

Porteur du projet et contact

Bruno Vallette
Ce project ANR est un programme de recherche fondamentale en mathématiques, plus précisément en algèbre et en topologie.

Algèbre. La théorie des catégories a montré qu'elle était un outil algébrique efficace pour formuler et pour organiser les résultats dans de nombreux domaines des mathématiques. De la même manière, la notion d'opérade, qui a émergé de l'étude des espaces de lacets itérés au début des années 70, joue maintenant un rôle structural important dans l'organisation des multiples opérations à plusieurs entrées mais une seule sortie qui agissent sur les divers objets en algèbre, géométrie, topologie et physique mathématique.

Algèbre supérieure. A la fin du siècle dernier, il est apparu clairement qu'il fallait introduire des notions algébriques supérieures pour pouvoir coder les structures supérieures apparaissant dans les problèmes mathématiques. Par exemple, la théorie de l'homotopie nous fournit des phénomènes naturels dont la description requiert des applications supérieures, c'est-à-dire une certaine notion de catégorie supérieure. De manière similaire, la notion algébrique d'opérade, déjà utilisée pour décrire les algèbres à homotopie près, s'est montrée être une notion trop stricte, par exemple dans le domaine de la théorie de la déformation.

Après une longue période de recherche en algèbre et en topologie, la théorie des structures supérieures a récemment donné naissance à des notions radicalement nouvelles et maniables, comme les infini-catégories, les algèbres à homotopie près et les opérades à homotopie près. Ces dernières ont permis de résoudre des problèmes ouverts comme des théorèmes de formalité (Kontsevich) ou l'hypothèse du cobordisme (Lurie), par exemple.

Théorie des champs. Dans le but de fournir des définitions mathématiques des objets étudiés en théorie des champs en physique, plusieurs mathématiciens de renom ont introduit les notions de théories des champs topologiques,  cohomologiques et conformes en utilisant les structures catégoriques ou opéradiques sur des objets géométriques : variétés à bord (Atiyah), espaces de modules de courbes avec points marqués (Kontsevich--Manin) et surfaces de Riemann avec trous holomorphes (Segal) respectivement.

Projet SAT. Ce projet porte sur de nouveaux développements des fondations de l'algèbre supérieure dans le but de résoudre des problèmes dans l'étude topologique des théories des champs. 

Dans un premier temps, il a pour but d’approfondir la théorie des structures supérieures à l’aide de nouveaux modèles ; en particulier les opérades symétriques à homotopie près et les infini-coopérades. Ensuite, il a pour objectif  d'appliquer ces nouvelles méthodes pour étudier mathématiquement les théories de champs, comme les En-opérades, les algèbres à factorisations, les théories topologiques des champs, les théories cohomologiques des champs, les algèbres vertex et les théories conformes des champs.



Programme financé par l'Agence nationale de la recherche

en partenariat avec  l'Université Nice Sophia Antipolis

    

Dernière mise à jour : 5 novembre 2017.