Remarque: il faut commencer par préciser les notions supposées connues: en effet il ne s'agit pas d'une leçon d'algèbre linéaire generale, a mon avis il faut admettre les notions essentielles (rapport endomorphismes-matrices, notions de valeurs propres, polynôme caractéristique, polynôme minimal, lemme des noyaux espaces caractéristiques... ) afin de se concentrer sur le sujet. C'est donc a vous de bien préciser les choses.

• Introduisez la problématique du sujet: trouver une base dans laquelle la matrice est la plus simple possible, dans l'idéal diagonale.
• En ce qui me concerne (c'est sûrement extrémiste et peut-être à déconseiller) je suis partisan d'entrer dans le vif du sujet en énonçant assez rapidement le résultat central qui permet de caractériser les classes de similitude à savoir les facteurs invariants. Pour cela il faut introduire la notion de K[X]-module induite par un endomorphisme et dire que deux endomorphismes sont semblables si et seulement si les deux structures de K[X]-module induites sur l'espace vectoriel sous-jacent sont isomorphes.
• En application on pourra noter les points suivants:
  • deux matrices complexes A,B sont semblables si et seulement si dim(A-lId)^k=dim(B-lId)^k pour tout k;
  • une matrice complexe A est diagonalisable si et seulement si ker(A-lId)=ker(A-lId)² pour tout l Î C;
  • mieux que la décomposition en somme directe des sous-espaces caractéristiques, l'espace est une somme directe de sous-espaces cycliques (indécomposables);
  • les classes de similitudes des endomorphismes nilpotents (réduction de Jordan) sont en bijection avec les diagrammes de Young;
  • les matrices trigonalisables sont exactement celles dont le polynôme caractéristique est scindé; on peut ainsi montrer Cayley-Hamilton;
  • diagonalisation simultanée: exemple représentation d'un groupe commutatif.
• Après la théorie générale, vous pouvez faire un paragraphe sur les familles classiques d'endomorphismes.
  • Partez tout d'abord des endomorphismes normaux ce qui vous donner la réduction des auto-adjoints, des hermitiennes, puis les symétriques et les anti-symétriques.
  • afin d'étudier les formes quadratique on est amené à étudier les classes de congruence: A et B sont dites congruentes s'il existe P inversible telle que A = \scriptspace ^t P B P. On remarquera que contrairement au classe de similitude, le caractère symétrique ou anti-symétrique se conserve par congruence: évoquez la signature.
  • En remarquant que deux matrices réelles unitairement semblables sont orthogonalement semblables, déduisez en la réduction des orthogonales à partir de celle des matrices unitaires;
• Pour les non-diagonalisables, évoquez la décomposition de Dunford, la décomposition polaire éventuellement les autres décompositions classiques: Cartan, Iwasawa... mais sans s'attarder car ce n'est pas le coeur du sujet. On pourra mentionner que la decomposition polaire implique que O(n) (resp. U(n)) est un sous-groupe compact maximal connexe de GL_n(R) (resp. GL_n(C)).
• En ce qui concerne les applications:
  • Cayley-Hamilton,
  • calculs de puissances,
  • exponentielle de matrice: (ne pas dire que Dunford sert au calcul explicite des exponentielles de matrices: si on vous demande de vous justifier argumentez que si on se donne D dont on sait qu'elle est diagonalisable non diagonale, on ne sait pas pour autant calculer son exponentielle alors que l'on connaît sa décomposition de Dunford (de manière général on sait calculer algorithmiquement la décomposition de Dunford et donc sans connaître ses valeurs propres). En général les calculs explicites que l'on propose découlent plutôt du lemme des noyaux: en bref si un polynôme annulateur de M est de la forme Õ_i (X-l_i)^r_i, alors en notant p_i le projecteur sur ker(A-l_iId)^r_i parallèlement à la somme directe des autres noyaux, on a expA=å_i exp(l_i) (å_k=0^r_i-1 [((A-l_i Id)^k)/(k!)]) °p_i. En utilisant Bézout on calcule les polynômes P_i tel que p_i:=P_i(A) ce qui donne le calcul final de expA. D'un point de vue théorique, la décomposition de Dunford sert à "comprendre" les exponentielles de matrices: on pourra invoquer l'image de l'exponentielle: GL_n(C) sur C et les carrés de GL_n(R)) sur R.
  • suites récurrentes linéaires,
  • systèmes d'équations différentielles linéaires.
  • rayon spectral
  • matrices de permutation
  • classification des coniques (affines, projectives, euclidiennes)
  • classification des homographies du plan projetif réel
  • classification des isométries vectorielles
  • On pourra aussi parler du bi-commutant, i.e. montrer que le centre de l'algèbre des endomorphismes qui commutent avec u est K[u].
  • En ce qui concerne les propriétés topologiques, on pourra citer:
    • sur C, une classe de similitude est connexe; si elle est bornée alors elle est réduite à un point.
    • Soit M=S+N la décomposition de Dunford de M en semi-simple plus nilpotent. Montrez que S est dans l'adhérence de la classe de similitude de M.
    • f est diagonalisable si et seulement si son orbite est fermée
    • L'adhérence de l'orbite d'un bloc de Jordan de taille maximale est l'ensemble des nilpotents, et plus généralement décrire l'ordre de Chevalley sur les orbites nilpotentes, défini par O₁ £ O₂ si et seulement si O₁ est dans l'adhérence de O₂: celui-ci correspond à l'ordre habituel sur les tableaux de Young.
    • l'intérieur de l'ensemble des matrices diagonalisables est l'ensemble des matrices avec n valeurs propres distinctes;
    • l'adhérence de l'ensemble des matrices diagonalisables est l'ensemble des matrices trigonalisables.
    • sur C, on pourra montrer la connexité des matrices diagonalisables, et de l'ensemble des matrices possédant n valeurs propres distinctes.

• invariants de similitude (bien choisir ce que l'on démontre car le tout est un peu long)
• diagonalisation des endomorphismes normaux
• réduction des isométries
• décomposition de Dunford
• méthode effective pour la décomposition de Dunford
• théorème de stabilité de Liapounov
• théorème de Kolchin: les éléments d'un sous-groupe de GL_n(C) formé de matrices unipotentes sont simultanément trigonalisables.
• deux matrices de permutations sont semblables si et seulement si les deux permutations sont conjuguées.

• Consultez les questions sur les matrices diagonalisables de la leçon Endomorphismes diagonalisables.
• Consultez les questions sur les matrices nilpotentes de la leçon Endomorphismes nilpotents.
• Consultez les questions sur les matrices nilpotentes de la leçon Matrices semblables....
• Montrez que sur un corps algébriquement clos, deux matrices A et B sont semblables si et seulement si, pour tout l Î K et pour tout k ³ 0, on a rg(A-lI)^k=rg(B- lI).

  A partir de la forme de Jordan, on rappelle que pour k ³ 1, d_k(A):=dimker(A-lI)^k - dimker(A-l)^k-1 est égal au nombre de bloc Jordan pour la valeur propre l qui sont de taille plus grande que k. D'après le théorème du rang, pour tout k ³ 1, on a d_k(A)=d_k(B) de sorte que A et B ont les mêmes réduites de Jordan et sont donc semblables.

• Soit A une matrice vérifiant (A-I)²(A-2I)=0. Calculez exp(A) sous la forme d'un polynôme en A.

  Le lemme des noyaux permet de décomposer l'espace E=ker(A-I)² Åker(A-2I). On considère le projecteur q (resp. p) sur ker(A-I)² (resp. ker(A-2I)) parallèlement à ker(A-2I) (resp. ker(A-I)²). De l'égalité p+q=Id, on obtient exp(A)=exp(A)p+exp(A)q. Or exp(A)p=e² exp(A-2I)=e² å_{n ³ 0} [((A-2I)ⁿ)/(n!)] °p=e² p car (A-2I) °p=0. De même on a exp(A) q=e A q. De l'identité de Bezout 1=(X-1)²-X(X-2), on en déduit que p=-A(A-2I) et q=(A-I)² et donc
  

  exp(A)=-e2A(A-2I)+eA(A-I)2

• Montrez que l'ensemble des matrices diagonalisables de M_n(C) est connexe et dense. Quel est son intérieur?
  • Connexité: on a une application surjective GL_n(C) ×(C^×)ⁿ sur l'ensemble des matrices diagonalisables: on envoie (P,(a₁,¼,a_n)) sur P diag(a₁,¼,a_n) P^-1. L'ensemble GL_n(C) ×(C^×)ⁿ étant connexe, il en est de même de l'ensemble des matrices diagonalisables.
  • On rappelle que GL_n(C) est connexe: soient P₁,P₂ deux matrices inversibles. On considère le polynôme det(P₁z+(1-z)P₂). Le complémentaire de l'ensemble (fini) des zéros de ce polynôme est connexe; on considère alors un chemin qui relie 0 à 1 dans ce complémentaire, ce qui fournit un chemin de P₁ à P₂ dans GL_n(C).
  • Densité: soit A une matrice complexe que l'on trigonalise PAP^-1=T. Soit alors e₁,¼,e_n petits tels que les t_i,i+e_i sont tous distincts. La matrice T+diag(e₁,¼,e_n) est alors diagonalisables car elle a n valeurs propres distinctes.
  • Intérieur: étant donné une matrice A diagonalisable avec une valeur propre multiple; P^-1AP=diag(a₁,a₂,¼,a_n) avec a₁=a₂, alors A+P E_1,2 P^-1 n'est plus diagonalisable.
  • Réciproquement si A est diagonalisable à valeurs propres distinctes, vu que le polynôme caractéristique dépend continûment de A, et que les racines d'un polynôme dépendent continûment de ses coefficients, on en déduit que si A¢ est proche de A, il aura aussi n valeurs propres distinctes et sera donc diagonalisable.
  • Par ailleurs l'ensemble des matrices à valeurs propres distinctes est encore connexe. En effet c'est le complémentaire des zéros du polynôme en n² variable définit comme le discriminant du polynôme caractéristique.
• Caractérisez les matrices qui sont des carrés: traitez le cas de C puis de R.
  • Remarquons déjà que le problème se ramène à traiter le cas nilpotent et le cas inversible. En effet M peut s'écrire sous la forme P(

    A	0
    0	B

    ) P^-1 avec A nilpotent et B inversible. Si on a X²=M alors M et X commutent de sorte que X=P (

    X1	X3
    X4	X2

    ) P^-1 avec AX₃=X₃B et AX₄=X₄B; on en déduit alors que c_A(A)X₃=X₃ c_A(B)=0. Or c_A et c_B sont premiers entre eux et donc c_A(B) est inversible et donc X₃=0. De la même façon on a X₄=0.
  • Le cas nilpotent est traité dans les questions sur la leçon Endomorphismes nilpotents. Traitons alors le cas inversible.
  • Cas complexe: on se ramène comme précédemment au cas A=lI+N avec N nilpotent. On écrit A=l(I+[(N)/(l)]) qui a pour racine carré Ö{l}(I+[(N)/(l)])^1/2 où (I+[(N)/(l)])^1/2 est défini par la série qui est finie car N est nilpotente.
  • Cas réel: A=X² avec A et X réelle. Le cas des valeurs propres strictement positives se traite comme ci-dessus. En ce qui concerne les valeurs propres négatives elles ne peuvent provenir que des valeurs propres imaginaires pures de X; cette dernière étant réelle les blocs de Jordan associés à l Î C sont les mêmes que ceux associés à [`(l)]. Par ailleurs pour N nilpotente de noyau de dimension 1, on a (lId+N)<sup>2</sup>=l<sup>2</sup> Id+N¢ avec N¢=2 lN + N<sup>2</sup> nilpotente de noyau de dimension 1 (écrire N sous la forme de Jordan) de sorte que N¢ est semblable à N. Ainsi J<sub>n</sub>(l)<sup>2</sup> est semblable à J<sub>n</sub>(l<sup>2</sup>) et on remarque donc que les blocs de Jordan de A relativement aux valeurs propres négatives sont, pour chaque dimension, en nombre pair.
  • Il ne reste alors plus qu'à traiter les matrices réelles A sans valeur propre réelle: A est alors semblable à une somme directe de matrice de la forme J<sub>n</sub>(l) ÅJ<sub>n</sub>([`(l)]). On écrit alors J_n(l)=X². La matrice diagonale par blocs diag(X,[`(X)]) est semblable à une matrice réelle: ainsi A est semblable au carré d'une matrice elle-même semblable à une matrice réelle de sorte que A est semblable au carré d'une matrice réelle; il est alors classique que l'on peut prendre la matrice de passage réelle et donc A est un carré.
• Montrez que toute matrice est de façon effective semblable à une matrice de Hessenberg, i.e. telle que tous les termes au dessous de sa sous-diagonale sont nuls.

  La méthode est celle du pivot de Gauss: on opère, à gauche, sur les lignes sans toucher à la première de façon à obtenir une première colonne dont tous les termes sont nuls sauf éventuellement les deux premiers. On applique alors la même transformation à droite: comme à gauche on n'avait pas modifié la première ligne, à droite on ne modifie pas la première colonne. On raisonne ensuite par récurrence.

• Montrez que deux matrices réelles unitairement semblables sont orthogonalement semblables.

  On a A=UBU^-1 et \scriptspace ^t A=U \scriptspace ^t B U^-1. On rappelle que deux matrices réelles qui sont semblables sur C sont semblables sur C. Il existe donc P Î GL_n(R) telle que A=PBP^-1 et \scriptspace ^t A=P \scriptspace ^t B P^-1. Soit P=OS la décomposition polaire de P et A=OSB^-1 B^-1 o^-1. Le résultat découle alors du fait que B et S commutent: en effet on a PBP^-1=A=\scriptspace ^t ( \scriptspace ^t A)=\scriptspace ^t P^-1 B \scriptspace ^t P. Ainsi B commute avec \scriptspace ^t P P donc aussi avec S qui est un polynôme en \scriptspace ^t PP.
  Remarque: Comme application, on pourra en déduire la réduction des isométries, à partir de la diagonalisation des endomorphismes unitaires.

• Montrez que l'application A ® A exp(A) est surjective.
  • Le plus difficile est le cas n=1: il s'avère qu'en dehors de z ¹ 0 qui n'a qu'un seul antécédent, tous les autres complexes en ont chacun une infinité par f(z)=z expz.
  • Pour une matrice nilpotente: d'après Jordan, on se ramène à un seul bloc de Jordan plein J_n. On raisonne par analyse et synthèse. On remarque alors que si J_n=A expA alors A est nilpotent avec dimkerA=1 ce qui impose que A est semblable à J_n: A=P J_n P^-1. En synthèse on remarque simplement que, d'après Jordan, J_n+J_n²+[(J_n³)/2]+ ¼+ [(J^n-1)/((n-2)!)] et J_n sont semblables.
  • Il ne reste plus qu'à traiter le cas inversible où l'on se ramène à M=lI_n+J_n et où on écrit l = mexp(m) avec m ¹ 0 et même m ¹ -1. On a alors f(mI_n+N)=f(m)I_n+f¢(m)N+N² p(N) où p(N) est un polynôme en N. Comme f¢(m) ¹ 0, on peut alors procéder comme dans le cas nilpotent.
• Montrez que si un ouvert de M_n(C) contient les matrices diagonales et est stable par similitude, alors il est égal à M_n(C) tout entier.

  Soit F le fermé complémentaire; s'il était non vide il contiendrait une matrice M=S+N, sa décomposition de Dunford, et contiendrait aussi sa partie semi-simple S, laquelle est dans l'adhérence de la classe de similitude de M, d'où la contradiction.

• Donnez les points de continuité de l'application qui à une matrice associe son polynôme minimal.
• Montrez en utilisant la décomposition polaire que O(n) (resp. U(n)) est un sous-groupe compact maximal de GL_n(R) (resp. GL_n(C)).