Systèmes désordonnés et polymères dirigés — 2025-2026 (M2)
M2 probabilités et modèles aléatoires. Polycopié de cours en construction.Description du cours:
Dans la première partie du cours, je passerai en revue quelques modèles de mécanique statistique et discuterai d’une question centrale dans l’étude des systèmes désordonnés, appelée la pertinence du désordre. Cette question est assez vaste et consiste principalement à déterminer si les propriétés d’un système restent stables sous de petites perturbations (aléatoires).Pour le reste du cours, je développerai en détail un exemple : le modèle de polymère dirigé en environnement aléatoire. Ce modèle repose sur une marche aléatoire interagissant avec un environnement aléatoire, et a fait l’objet de nombreuses études (et de progrès importants) au cours des dernières années. En effet, bien que le modèle soit très simple à définir (il s’agit d’une version désordonnée de la marche aléatoire simple), il présente une grande variété de comportements et, en particulier, possède une transition de phase lorsque l’intensité du désordre varie.
Je décrirai d’abord les caractéristiques importantes de ce modèle, par exemple en montrant la présence d’une transition de phase et en discutant du rôle de la dimension dans la question de la pertinence du désordre. Ensuite, je présenterai des résultats très récents sur plusieurs fronts (en fonction du temps restant):
- la caractérisation récente de la transition de phase en dimension d≥3,
- la construction d’une limite d’échelle désordonnée et sa relation avec l’équation de la chaleur stochastique,
- le cas de la dimension critique d=2.