Q. Berger - Enseignement

Intégration et Probabilités — Sup Galilée

Devoir maison № 1: le sujet (la correction).
Partiel 1: Mardi 5 novembre. Le sujet (la correction).
Devoir maison № 2 le sujet (la correction)
Vacances de Noël: 21 décembre au 5 janvier.
Partiel 2: Vendredi 10 janvier. Le sujet (la correction).

Anciens partiels:
Partiel 2023.
Examen 2023, et sa correction.

Séance 1 (16/09):
Chapitre 1: Droite achevée, dénombrabilité (important!), sommabilité, intégrale de Riemann généralisée, limsup/liminf.
Chapitre 2: Définition de tribu, espace mesurable.

Séance 2 (23/09):
Chapitre 2: espace mesurable, mesures et leurs propriétés, fonctions mesurables.
Chapitre 3: intégrale de fonctions positives, à commencer par le cas de fonctions étagées.

Séance 3 (30/09):
Chapitre 3: théorème de convergence monotone et divers exemples, fonctions intégrables, théorème de convergence dominée et divers exemples.

Séance 4 (07/10):
Chapitre 3: Exemples principaux (mesures discrètes, mesure de Lebesgue, mesure à densité).
Chapitre 4: Intégrales à paramètre, continuité, dérivation sous le signe intégral.

Séance 5 (21/10)
Chapitre 4: Espaces L^p, définitions
Chapitre 5: Mesure produit, définition, quelques exemples et théorèmes de Fubini

Séance 6 (28/10)
Chapitre 5: Exemples d'application des théorèmes de Fubini. Mersure image et formule de transfert, formule de changement de variable, d'abord dans le cas d'une application linéaire, puis dans le cas d'un C¹-difféomorphisme (exemple notamment du changement de coordonnées polaires).

Séance 7 (4/11)
Chapitre 6: Espaces de probabilités, variables aléatoires, loi d'une variable aléatoire (le cas discret, le cas continu, quelques exemples). Espérance vue comme intégrale, formule de transfert (le cas discret, le cas à densité), inégalité de Markov.

Séance 8 (6/11)
Chapitre 6: Variance, inégalité de Bienaymé-Tchebychev, vecteurs aléatoires (loi jointe et lois marginales), covariance.
Chapitre 7: Indépendance d'événements (en commençant par les probabilités conditionnelles), indépendance de variables aléatoires et lois produits, premières propriétés (notamment variance d'une somme de variables aléatoires indépendantes).

Séance 9 (18/11)
Chapitre 7: Indépendance de fonctions de variables indépendantes, regroupement par paquets.
Intermède: liste des lois classiques et quelques propriétés. V.a. discrètes: Bernoulli, uniforme sur un ensemble fini, binomiale, Poisson, géométrique. V.a. à densité: uniforme sur un intervalle [a,b], exponentielle, normale (gaussienne).
Chapitre 8: Caractérisation des lois. Méthode de la fonction test, fonction de répartition, fonction génératrice.

Séance 10 (25/11)
Chapitre 8: caractérisation des lois, fin. Fonction génératrice, retour sur la méthode de la fonction test, fonction caractéristique.
Chapitre 9: Convergence de suites de variables aléatoires. Intersection dénombrable d'événements presque sûrs, lemme de Borel-Cantelli, exemples.

Séance 11 (2/12)
Chapitre 9: Différents types de convergence de suites de variables aléatoires: convergence en probabilité (et loi faible des grands nombres), convergence presque sûre (et loi forte des grands nombre), convergence dans L^p. Convergence en loi, différentes caractérisations et Théorème Central Limite.