Agrégation externe - UE7 - Corps et Géométrie

UE7 - Corps et Géométrie (2012-2013)

Enseignants

Bruno Vallette [BV]
Michel Merle [MM]

Liste des séances

Semaine 1

Vendredi 7 septembre (8h-9h30) : cours [MM] Espaces affines, groupe affine
Vendredi 7 septembre (15h-16h30) : cours [BV] Propriétés arithmétiques des anneaux [Réf. Perrin]

Semaine 2

Lundi 10 septembre (13h15-14h45) : dvlpt [BV] Anneau des entiers de Gauss - Théorème des deux carrés [Réf. Perrin]
Lundi 10 septembre (15h-16h30) : dvlpt [BV] Equation de Ramanujan-Nagell et Théorème de Van Staudt-Clausen [Réf. Stewart-Tall & Hardy-Wright]
Jeudi 13 septembre (9h45-11h15) : td [MM] Barycentres
Vendredi 14 septembre (8h-9h30) : cours [MM] Théorèmes classiques de géométrie affine (Thalès, Pappus, Ménélaüs, Desargues, etc.)
Vendredi 14 septembre (15h-16h30) : cours [BV] Automorphismes de Z/nZ [Réf. Perrin]

Semaine 3

Lundi 17 septembre (13h15-14h45) : cours-dvlpt [BV] Loi de réciprocité quadratique [Réf. Gourdon, Samuel, Serre, Ireland-Rosen]
Lundi 17 septembre (15h-16h30) : td [BV] Arithmétique
Vendredi 21 septembre (8h-9h30) : td [MM] Transformations affines
Vendredi 21 septembre (15h-16h30) : cours [BV] Polynômes et relations coefficients-racines

Semaine 4

Lundi 24 septembre (13h15-14h45) : cours [BV] Relations coefficients-racines et polynômes symétriques
Lundi 24 septembre (15h-16h30) : cours [BV] Polynômes symétriques et localisation des racines
Vendredi 28 septembre (8h-9h30) : td [MM] Géométrie euclidienne - Isométries d'un espace affine euclidien
Vendredi 28 septembre (15h-16h30) : cours/td [BV] Extensions de corps, nombres algébriques et transcendants, corps de rupture, corps de décomposition [Réf : Perrin]

Semaine 5

Lundi 1 octobre (13h15-14h45) : dvlpt [BV] C est algébriquement clos [Réf. Samuel, Gourdon, démonstration avec polynômes symétriques]
Lundi 1 octobre (15h-16h30) : cours [BV] Constructions à la règle et au compas [Réf. Perrin]
Vendredi 5 octobre (8h-9h30) : cours [MM] Coniques
Vendredi 5 octobre (15h-16h30) : td [BV] Transcendance de e et de pi [Réf. Gourdon]

Semaine 6

Lundi 8 octobre (13h15-14h45) : cours [BV] Corps finis [Réf. Perrin, Francinou-Gianella]
Lundi 8 octobre (15h-16h30) : cours/td [BV] Polynômes cyclotomiques [Réf. Perrin]
Vendredi 12 octobre (8h-9h30) : dvlpt [MM] Théorème de Pascal (démonstration avec coordonnées barycentriques)
Vendredi 12 octobre (15h-16h30) : cours/dvlpt [BV] Théorème de Dirichlet, critères d'irréductibilité des polynômes [Réf. Perrin, Francinou-Gianella]

Semaine 7

Lundi 15 octobre (13h15-14h45) : Résultant et discriminant [Réf. Goblot, Tauvel, Escofier]
Lundi 15 octobre (15h-16h30) : cours/td [BV] Résultant et géométrie algébrique I (intersection de courbes algériques, droite projective) [Réf. Goblot, Risler-Boyer]
Jeudi 18 octobre (9h-15h) : Ecrit blanc [BV]
Vendredi 19 octobre (8h-9h30) : td [MM] Isométries laissant une conique invariante

Semaine 8

Lundi 22 octobre (13h15-14h45) : Correction écrit blanc [BV]
Lundi 22 octobre (15h-16h30) : cours/td [BV] Résultant et géométrie algébrique II (Ensembles algébriques affines et Théorème des zéros de Hilbert) [Réf. Goblot]
Vendredi 26 octobre (13h15-14h45) : dvlpt [BV] Le problème de Cramer-Castillon & construction à la règle et au compas des polygones réguliers [Réf. Carrega, Francinou-Gianella]
Vendredi 26 octobre (15-16h30) : dvlpt [BV] Billard dans les ellipses et Théorème de Pascal (avec le théorème de Bézout) [Réf. Tabachnikov, Shafarevich]

Semaine 9

Lundi 5 novembre (13h30-15h30) : Examen final [BV]

Liste (provisoire) des développements associés à ce module

Théorème des deux carrés [Réf. Perrin]
Equation de Ramanujan-Nagell [Réf. Stewart-Tall p.104 et Francinou-Gianella p.170]
Théorème de Van Staudt-Clausen [Réf. Hardy-Wright p.90 et Ireland-Rosen]
Loi de réciprocité quadratique [Réf. Gourdon, Hindry], Samuel, Serre]
Théorème de D'Alembert-Gauss : C est algébriquement clos [Réf. Samuel]
Transcendance de e et de pi [Réf. Gourdon]
Théorème de Wedderburn [Réf. Perrin]
Irréductibilité des polynômes cyclotomiques [Réf. Perrin]
Théorème de Dirichlet (version faible) [Réf. Francinou-Gianella]
Théorème de Chevalley [Réf. Samuel, Serre]
Théorème de l'élément primitif [Réf. Gourdon]
Le problème de Cramer-Castillon [Réf. Carrega]
Théorème de Pascal (coordonnées barycentriques) [Réf. Audin]
Théorème de Pascal (Théorème de Bézout) [Réf. Shafarevich]
Isométries laissant une conique invariante
Triangles sphériques - Impossibilité de paver R^3 par des tétraèdres réguliers
Théorème faible des zéros de Hilbert [Réf. Goblot]
Théorème fort des zéros de Hilbert [Réf. Goblot]
Construction à la règle et au compas des polygones réguliers [Réf. Carrega, Francinou-Gianella]
Billard dans les ellipses [Réf. Tabachnikov]

Références

Perrin Daniel, Cours d'Algèbre, Ellipses.
Serre Jean-Pierre, Cours d'arithmétique, PUF.
Francinou Serge et Gianella Hervé, Exercices de mathématiques pour l'agrégation, Algèbre 1, Masson
Gourdon Xavier, Les maths en tête, Algèbre, Ellipses.
Stewart Ian et Tall David, Algebraic number theory, Chapman & Hall.
Ireland Kenneth et Rosen Michael, A classical introduction to modern number theory, Graduate Texts in Mathematics, 84, Springer-Verlag.
Hardy G.H. et Wright E. M., Introduction à la théorie des nombres, Vuibert.
Samuel Pierre, Théorie algébrique des nombres, Collection Méthodes, Hermann.
Hindry Marc, Arithmétique, Tableau Noir, Calvage & Mounet.
Audin Michèle, Géométrie, Belin.
Berger Marcel, Géométrie, Nathan.
Jean-Claude Carrega, Théorie des corps - La règle et le compas, Hermann.
Jean-Pierre Escofier, Théorie de Galois, Dunod.
Goblot Rémi, Algèbre commutative, Dunod.
Tauvel , Corps commutatifs et théorie de Galois, Calvage & Mounet.
Risler Jean-Jacques et Boyer Pascal, Algèbre pour la licence 3 : Groupes, anneaux, corps, Dunod.
Escofier Jean-Pierre, Théorie de Galois, Dunod.
Serge Tabachnikov. Billiards, SMF “Panoramas et Syntheses”.
Shafarevich I.R., Basic Algebraic Geometry I, Springer-Verlag.

Feuilles de Travaux Dirigés

Arithmétique PDF

Ecrit blanc

Sujet de mathématiques générales 2007 : Tableau de notes et Commentaires

Modalités d'évaluation

Deux examens sont prévus : un écrit blanc type agrégation et un examen final type M2.
Deux colles sont également prévues.
Note finale de l'U.E. = Note de l'examen final x 2/3 + Note de colle x 1/3.
Tout absence à l'écrit blanc ou à l'examen final entraine un 0 au module

Préparation à l'Agrégation

Page web de la préparation à l'agrégation, Planning complet.

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