Plan du cours
Chapitre 1 : Le groupe linéaire
1.
Matrices saison 1
Matrice associée à une application linéaire,
changement de base, matrices équivalentes, matrices semblables.
2.
Arithmétique des anneaux [P]
a) Idéaux et divisibilité
b) Factoriel, principal, euclidien.
3.
Facteurs invariants [S]
4.
SL(E) >-> GL(E) ->> PGL(E) [P]
5.
Cas des corps finis [P]
6.
Topologie des endomorphismes [CG, G]
a) Normes
b) Densité
c) Connexité
7.
Exponentielle de matrices [G, CG]
a) Définition
b) Difféomorphisme local
c) Sous-groupes fermés et algèbre de Lie
Chapitre 2 : Formes quadratiques
1.
Formes bilinéaires [P, G]
2.
Matrices saison 2 [P, G]
Matrice associée à une application bilinéaire et à une forme quadratique.
3.
Classification [CG]
Sur les complexes, les réels et les corps finis. Application : loi de réciprocité quadratique.
4.
Décomposition polaire [CG, G]
5.
Sous-groupes compacts de GLn(R) [Al]
Feuilles de Travaux
Dirigés
Feuille n°1 :
Le groupe linéaire 
Feuille n°2 :
Le groupe linéaire sur les corps finis
Feuille n°3 :
Topologie des endomorphismes et exponentielle
Feuille n°4 :
Exponentielle et algèbre de Lie
Feuille n°5 :
Formes quadratiques
Feuille n°6 :
Décomposition polaire et groupes d'isométries
Sujet Maison
Le résultant
Ce sujet est tiré des réferences suivantes :
Algèbre commutative de Remi Goblot,
Théorie de Galois de Jean-Pierre Escofier et
Algèbre pour la Licence 3 de Pascal Boyer et Jean-Jacques Risler.
Un grand merci à Pascal Boyer pour m'avoir fait découvrir l'application à la loi de réciprocité quadratique :
source sur sa page internet
Annales
Examen (décembre 2015) :
Sujet Correction
Références
Références principales
- [Al] Alessandri Michel, Thèmes de géométrie - Groupes en situation géométrique, Dunod. Lien
- [G] Gourdon Xavier, Les maths en tête, Algèbre, Ellipses. Lien
- [P] Perrin Daniel, Cours d'Algèbre, Ellipses. Lien
- [CG] Caldero Philippe et Germoni Jérôme, Histoires hédonistes de groupes et géométrie (Tome 1), Calvage & Mounet. Lien
- [S] Serre Denis, Les matrices. Théorie et pratique, Dunod. Lien
Références secondaires
- [A] Audin Michèle, Géométrie, Ellipses. Lien
- [FG] Francinou Serge et Gianella Hervé, Exercices de mathématiques pour l'agrégation, Algèbre 1, Masson. Lien
- [MT] Rached Mneimné et Frédéric Testard, Introduction à la théorie des groupes de Lie classiques, Hermann. Lien
Un bon endroit pour les consulter :
Library Genesis
Organisation
Mardis :
cours &
vendredis : exercices.
Enseignant
Bruno Vallette (Cours/TDs)
