Groupe de Travail

Algèbres et homologie à factorisation

Programme : Le but de ce groupe de travail est d'étudier les définitions et propriétés de l'homologie à factorisation et des algèbres à factorisation. Ceci permettra d'étudier ultérieurement l'hypothèse du cobordisme et/ou le formalisme de Batalin--Vilkovisky. Ce groupe de travail peut aussi être vu comme le prolongement de celui de l'an dernier : où comment utiliser de manière utile les catégories supérieures.

Organisation : Les exposés auront lieu les jeudis à partir de 14 heures en salle B405 du LAGA (Paris 13).

Exposés

9 novembre 2017 : Introduction et découpage des exposés par Bruno Vallette

23 novembre 2017 : Version supérieure des axiomes d'Eilenberg--Steenrod (théories de (co)chaînes) avec l'exemple de l'homologie de Hochshild supérieure par Daniel Robert-Nicoud NOTES

Résumé : On étudie une version supérieure des axiomes d'Eilenberg--Steenrod où la catégorie d'arrivée est celle des complexes de (co)chaînes voire des E_infini-algèbres. On énoncera le théorème d'unicité avec le langage des infini-catégories. Dans le cas des algèbres commutatives, on présentera le modèle de simplicial de Hochschild supérieur et quelques calculs explicites.

Références : Mandell et Gregory §2.1 et §2.3 (et §10.1).

7 décembre 2017 : Notion d'infini-catégorie symétrique monoïdale et exemples (complexes de chaînes, des variétés et "disques") par Denis Nardin NOTES

Résumé : Dans la première partie de cet exposé, on exposera la théorie générale des infini-catégories symétriques monoïdales avec pour paradigme les complexes de chaînes. Dans la seconde partie de l'expoxé, on donnera les exemples qui interviennent dans la définition de l'homologie à factorisation : les variétés parallélisables (lisses ou orientées) et plongements de "disques"(et lien avec les algèbres E_n).

Références : Groth §4, Ayala--Francis §2, Ayala--Francis--Tanaka §1.2 et Gregory §3.1 et §10.1.

14 décembre 2017 : La théorie homologique des variétés : l'homologie à factorisation par Yonatan Harpaz NOTES

Résumé : Dans un premier exposé, on analysera ce que peuvent être les axiomes d'une théorie homologique pour les variétés pour aboutir à un théorème d'existence et d'unicité. Une ébauche de démonstration de ce théorème sera donnée au second exposé (décomposition en anse, théorème B de Quillen).

Références : Ayala--Francis §3 (voir aussi Ayala--Francis--Tanaka §2.7) et Gregory §3.2.

11 janvier 2018 : Algèbres à factorisation par Jean-Michel Fischer

Résumé : Dans un premier exposé, nous introduirons l'opérade colorée qui définit les pré-algèbres à factorisation. S'en suivera le complexe de Cech et la définition d'algèbre à factorisation. Nous donnerons des exemples en base dimension (sur [0,1], sur S^1, etc.). Dans un second exposé, nous introduirons les versions stratifiées des notions précédentes et nous ous donnerons à nouveau des exemples en base dimension (sur [0, +infini) pour obtenir des algèbre et leurs modules et sur un disque pointé).

Références : Costello--Gwilliam et Gregory §4.1, §5.5, §6.2, §6.3.

25 janvier 2018 (salle B407) : Lien (pré)-algèbres à factorisation, E_algèbres et homologie à factorisation par Geoffroy Horel

Résumé : Le but des ces deux exposés sera d'abord de montrer que le complexe de Cech des (pré-)algèbres à factorisation calcule l'homologie à factorisation et d'énoncer le théorème de Lurie donnant une équivalence d'infini-catégories symétriques monoïdales entre les E_n-algèbres et les algèbres à factorisation localement constrantes sur R^n.

Références : Lurie (Higher Algebra) §5.4, Matsuoka et Gregory §4.2 et §10.2.