Groupe de Travail

(Algèbre et Topologie)

Thème : Catégories de modèles, (co)homologie d'André-Quillen, Gamma-modules et homologie des espace d'Eilenberg-Mac Lane.

Programme : La notion de catégorie de modèle à été introduite par D. Quillen à la fin des années 60. Elle fait l'objet d'un ouvrage à part entière [Homotopical algebra, 67]. Quillen l'a utilisée dans son papier de référence sur l'homotopie rationnelle [Rational homotopy theory, 69] en se servant du fait qu' une catégorie modèle a une catégorie homotopique avec de bonnes propriétés. La notion de remplacement cofibrant inhérante aux catégories de modèles est une généralisation non abélienne de la notion de résolution projective qui sert depuis Cartan-Eilenberg-Grothendieck à définir naturellement des théories homologiques. André et Quillen l'ont utilisée pour définir une bonne théorie (co)homologique des anneaux commutatifs [Homologie des algèbres commutatives, M. André 74, On the (co-) homology of commutative rings, D. Quillen 70]. Plus récement, Goerss et Hopkins ont généralisé cette approche aux algèbres sur une opérade pour définir leur (co)homologie à coefficients [André-Quillen (co)homology for simplicial algebras over simplicial operads]. Dans le même esprit, Robinson-Whitehouse et Pirashivili-Richter ont définit une théorie homologique pour les Gamma-modules. Cette homologie est naturellement reliée à l'homologie des espaces d'Eilenberg-MacLane.

Les exposés ont lieu les lundi à 11 heures au rez-de-chaussée du laboratoire J.A. Dieudonné (Nice).

Exposés :

16 octobre 2006 : Catégories de modèles et (co)homologie d'André-Quillen : Introduction par Bruno Vallette

23 octobre 2006 : Définition des catégories modèles et l'exemple des complexes de chaînes par Eugenia Cheng

30 octobre 2006 : (Vacances)

6 novembre 2006 : L'exemple fondamental des ensembles simpliciaux I par Clemens Berger

13 novembre 2006 : L'exemple fondamental des ensembles simpliciaux II par Clemens Berger

20 novembre 2006 : Foncteurs de Quillen, transfert de structure et l'exemple des espaces topologiques par Thomas Gire

27 novembre 2006 : Foncteurs de Quillen, transfert de structure et l'exemple des espaces topologiques II par Thomas Gire

4 décembre 2006 : Model categories and rational homotopy theory par Ben Walter

11 décembre 2006 : Catégorie homotopique, foncteurs derivés et équivalence de Quillen par Marcello Bernardara

18 décembre 2006 (11 heures) : (Co)homologie d'André-Quillen des anneaux commutatifs partie I par Joan Millès

18 décembre 2006 (14 heures) : (Co)homologie d'André-Quillen des anneaux commutatifs partie II par Marc Aubry

8 janvier 2007 : (Co)homologie d'André-Quillen des algèbres sur une opérade (d'après Goerss-Hopkins) par BrunoVallette

11 janvier 2007 : (Co)homologie d'André-Quillen des algèbres sur une opérade (d'après Goerss-Hopkins) II par BrunoVallette

19 février 2007 : Gamma-espaces and Gamma-modules par Clemens Berger

26 février 2007 : Modules et algèbres diffrentiels gradués, bar construction et morphismes tordus par Bruno Vallette

12 mars 2007 (11 heures) : Le complexe de Robinson-Whitehouse par Marc Aubry

12 mars 2007 (14 heures) : Homologie des foncteurs par Joan Millès

19 mars 2007 : Introduction à l'homologie des espaces d'Eilenberg-Mac Lane par Jean-Louis Cathelineau

26 mars 2007 : Algèbres à puissances divisées par Frédéric Patras

2 avril 2007 : Homologie modulo p des espaces d'Eilenberg-Mac Lane par Clemens Berger

9 avril 2007 : Homologie enitere des espaces d'Eilenberg-Mac Lane par François-Xavier Dehon

Références :

Catégories de modèles

Exposés introductifs

W. G. Dwyer, J. Spalinski, Homotopy theories and model categories, Handbook of algebraic topology, 73-126, North-Holland, Amsterdam, 1995. Article en DVI , Article en PDF.

P. Goerss, Model Categories and Simplicial Methods, Notes d'exposés de l'école d'été Interaction between Homotopy theory and Algebra (Chicago, 2004), math.AT/0609537.

(Petit) livre de référence

M. Hovey, Model categories. Mathematical Surveys and Monographs, 63. American Mathematical Society, Providence, RI, 1999. xii+209 pp.

Ouvrage historique

D. Quillen, Homotopical algebra, Lecture Notes in Mathematics, No. 43 Springer-Verlag, Berlin-New York 1967 iv+156 pp.

Theoreme de transfert

S. E. Crans, Quillen closed model structures for sheaves. J. Pure Appl. Algebra 101 (1995), no. 1, 35-57. Article en PDF

(Co)homologie d'André-Quillen

Les deux ouvrages de référence

D. Quillen, On the (co-) homology of commutative rings, 1970 Applications of Categorical Algebra (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XVII, New York, 1968) pp. 65-87. Amer. Math. Soc., Providence, R.I.

M. André, Homologie des algèbres commutatives, (French) Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 206. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1974. xv+341 pp.

Généralisation aux algébres sur une opérade

P. Goerss, M. Hopkins, André-Quillen (Co)homology for simplicial algebras over simplicial operads, Une dégustation topologique [Topological morsels]: homotopy theory in the Swiss Alps (Arolla, 1999), 41--85, Contemp. Math., 265, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2000. Article en PS.

Cas particulier des algèbres de Poisson

B. Fresse, Théorie des opérades de Koszul et homologie des algèbres de Poisson, prépublication (1998). Article en PDF

Homotopie rationnelle

La première référence

D. Quillen, Rational homotopy theory, Ann. of Math. (2) 90 1969 205--295.

La "suite"

D. Sullivan, Infinitesimal computations in topolog,. Publications Mathématiques de l'IHÉS, 47 (1977), p. 269-331. Article en PDF

Livre de référence

Y. Félix, S. Halperin, J.-C Thomas, Rational homotopy theory, Graduate Texts in Mathematics, 205. Springer-Verlag, New York, 2001. xxxiv+535 pp.

Gamma-modules

A. Robinson, S. Whitehouse, Operads and $\Gamma$-homology of commutative rings, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. (2002) no. 2, 197-234. Article en DVI

T. Pirashvili, B. Richter, Robinson-Whitehouse complex and stable homotopy, Topology 39 (2000), no. 3, 525-530. Article en PDF

M. Baterra, R. McCarthy, $\Gamma$-homology, topological André-Quillen homology and stabilization, Topology Appl. 121 (2002), no. 3, 551-566. Article en PDF

Homologie des espace d'Eilenberg-Mac Lane

Séminaire Henri Cartan, 7, 1, 1954-1955. Algèbre d'Eilenberg-Mac Lane et homotopie. Site Numdam voir aussi

Participants :

      Pierre ABBRUGIATI
   Marc AUBRY
      Nicolas BABOIS
   Clemens BERGER
      Marcello BERNARDARA
      Patrick CASSAM-CHENAI
      Eugenia CHENG
   Jean-Louis CATHELINEAU
     François-Xavier DEHON
   Georges ELENCWAJG
      Thomas GIRE
      Joan MILLES
   Frédéric PATRAS
    Bruno VALLETTE

Retour à la page d'accueil.

Dernières modifications : 12 février 2007 (ATTENTION, page en évolution, rien de ce qui est écrit ici ne pourra être retenu contre moi.)