Programme
: Le
but
de ce groupe de travail est d'étudier les produits polyhédraux qui
sont des espaces topologiques définis comme colimite indicée par (la
catégorie des faces) des complexes simpliciaux de produits de paires
d'espaces topologiques données. Les exemples les plus connus sont
les <<moments-angle complexes>> obtenus à partir de la
paire (disque, cercle) et les espaces de Davis--Januszkiewicz
obtenus à partir de la paire (CP^infini, point).
Organisation : Les exposés auront lieu les jeudis matin à 10h30 en salle B405.
ExposésContenu : Nous allons principalement suivre le livre de référence de Buchstaber--Panov : l'idée est de couvrir pour l'instant les chapitres 4 (<<Moment-angle complexes>>) et 8 (<<Homotopy theory>>) en se référant au contenu des chapitres 1,2 et 3 au besoin. NOTES PRESENTATION
Le premier exposé (19 octobre)
donnera la définition des produits polyhédraux (§4.2) sous la forme d'un
foncteur monoïdal strict de la catégorie des complexes simpliciaux munis
du joint vers la catégorie des espaces topologiques munis du produit. On
donnera un bon nombre d'exemples comme les <<moment-angle
complexes>> obtenus avec la paire (disque, cercle) (§4.1), les
<<real moment-angle complexes>> obtenus avec la paire
(intervalle, deux points) (§4.1), les espaces de Davis--Januszkiewicz
obtenus avec la paire (CP^infini, point) (§4.3), les arrangements de
sous-espaces obtenus
avec la paire (C, C\{0}) (§4.7) et les liens entre eux
(Théorème 4.3.2, Théorème 4.7.5, Corollaire 4.8.14). On donnera
leurs premières propriétés homotopiques (Proposition 4.3.5, Théorème
4.7.7.) On pourra aller plus loin dans les propriétés homotopiques
avec les bouquets de sphères (§8.2), la décomposition cellulaire
(§4.4) et l'approximation cellulaire fonctorielle de la diagonale
(§4.5, Construction 4.5.2). (Ces deux derniers points serviront dans
l'exposé suivant).
Le but du second exposé (16
novembre) sera d'étudier les algèbres de cohomologie des produits
polyhédraux. On commencera par montrer l'isomorphisme d'anneaux entre
l'anneau des faces (Stanley-Reisner) du complexe simplicial et l'anneau
de cohomologie des espaces de Davis--Januszkiewicz
(Proposition 4.3.1). On traitera ensuite la cohomologie équivariente
(pour l'action du tore) du <<moment-angle complex>>
(Corollaire 4.3.3) puis leur cohomologie usuelle. Pour ce dernier cas,
nous aurons besoin de la décomposition cellulaire et de l'approximation
de la diagonale (mentionnées ci-dessus) ainsi que d'un modèle <<de
Koszul>> algébrique (§4.5). (On rappelera au besoin les résultats
nécessaires du chapitre 3.) On pourra ensuite s'intéresser à la
description du produit en terme de sous-complexes pleins (fin de la
section 4.5). Si le temps le permet, on pourra exposer l'équivalence
entre le fait qu'un <<moment-angle complex>> est un espace à
dualité de Poincaré et le fait que le complexe simplicial soit de
Gorenstein (Théorème 4.6.8).
Le troisième exposé (30 novembre)
couvrira les notions de produits de Massey supérieurs et de formalité
des espaces topologiques. Il sera bon de commencer par rappeler les
définitions, ce qui impliquera les modèles rationnels de Sullivan (§A.4)
et eventuellement le théorème de transfert homotopique. On sera ensuite
armé pour étudier la formalité des produits polyhédraux (Théorème 8.1.2)
dont les espaces de Davis--Januszkiewicz
(Corollaire 8.1.3 pour le cas Q et Exercice 8.1.11 pour le cas Z).
On montrera ensuite que les <<moment-angle
complexes>> ne sont pas formels en général en établissant que le
produit de Massey triple n'est pas nul (§4.9). Si le temps le permet, on
pourra s'intéresser aux complexes simpliciaux de Golod (Définition
4.9.5, Page 345 et Théorème 8.5.11).
Le quatrième exposé (14 décembre)
étudiera les espaces de lacets des produits polyhédraux. On
s'intéressera à leurs agèbres de Pontryagin (homologie) et leurs
algèbres de Lie (homotopie rationnelle). Pour cela, il sera bon de
rappeler (brièvement) les définitions des produits de Samelson/Whitehead
(Pages 422-424). On présentera la cogèbre des faces et sa construction
cobar (définition de l'adjonction bar-cobar à rappeler rapidement) pour
formuler la Proposition 8.4.10. On pourra faire le lien avec les modèles
en algèbres de Lie différentielles graduées de Quillen (voir l'approche
récente de Buijs--Felix--Murillo--Tanré). On concluera en beauté avec le
cas des complexes de drapeaux, <<flag complexes>> en anglais
(§8.5) dont on montera que les espaces de Davis--Januszkiewicz
associés sont coformels, et des espaces de Koszul selon la
terminologie de Berglund (Théorème 8.5.6).