Groupe de Travail

Homotopie des produits polyhédraux



Programme : Le but de ce groupe de travail est d'étudier les produits polyhédraux qui sont des espaces topologiques définis comme colimite indicée par (la catégorie des faces) des complexes simpliciaux de produits de paires d'espaces topologiques données. Les exemples les plus connus sont les <<moments-angle complexes>> obtenus à partir de la paire (disque, cercle) et les espaces de Davis--Januszkiewicz obtenus à partir de la paire (CP^infini, point).

Organisation : Les exposés auront lieu les jeudis matin à 10h30 en salle B405.

Exposés

Contenu : Nous allons principalement suivre le livre de référence de Buchstaber--Panov : l'idée est de couvrir pour l'instant les chapitres 4 (<<Moment-angle complexes>>) et 8 (<<Homotopy theory>>) en se référant au contenu des chapitres 1,2 et 3 au besoin.  NOTES  PRESENTATION  

Le premier exposé (19 octobre) donnera la définition des produits polyhédraux (§4.2) sous la forme d'un foncteur monoïdal strict de la catégorie des complexes simpliciaux munis du joint vers la catégorie des espaces topologiques munis du produit. On donnera un bon nombre d'exemples comme les <<moment-angle complexes>> obtenus avec la paire (disque, cercle) (§4.1), les <<real moment-angle complexes>> obtenus avec la paire (intervalle, deux points) (§4.1), les espaces de Davis--Januszkiewicz obtenus avec la paire (CP^infini, point) (§4.3), les arrangements de sous-espaces obtenus avec la paire (C, C\{0}) (§4.7) et les liens entre eux (Théorème 4.3.2, Théorème 4.7.5, Corollaire 4.8.14). On donnera leurs premières propriétés homotopiques (Proposition 4.3.5, Théorème 4.7.7.) On pourra aller plus loin dans les propriétés homotopiques avec les bouquets de sphères (§8.2), la décomposition cellulaire (§4.4) et l'approximation cellulaire fonctorielle de la diagonale (§4.5, Construction 4.5.2). (Ces deux derniers points serviront dans l'exposé suivant).

Le but du second exposé (16 novembre) sera d'étudier les algèbres de cohomologie des produits polyhédraux. On commencera par montrer l'isomorphisme d'anneaux entre l'anneau des faces (Stanley-Reisner) du complexe simplicial et l'anneau de cohomologie des espaces de Davis--Januszkiewicz (Proposition 4.3.1). On traitera ensuite la cohomologie équivariente (pour l'action du tore) du <<moment-angle complex>> (Corollaire 4.3.3) puis leur cohomologie usuelle. Pour ce dernier cas, nous aurons besoin de la décomposition cellulaire et de l'approximation de la diagonale (mentionnées ci-dessus) ainsi que d'un modèle <<de Koszul>> algébrique (§4.5). (On rappelera au besoin les résultats nécessaires du chapitre 3.) On pourra ensuite s'intéresser à la description du produit en terme de sous-complexes pleins (fin de la section 4.5). Si le temps le permet, on pourra exposer l'équivalence entre le fait qu'un <<moment-angle complex>> est un espace à dualité de Poincaré et le fait que le complexe simplicial soit de Gorenstein (Théorème 4.6.8).

Le troisième exposé (30 novembre) couvrira les notions de produits de Massey supérieurs et de formalité des espaces topologiques. Il sera bon de commencer par rappeler les définitions, ce qui impliquera les modèles rationnels de Sullivan (§A.4) et eventuellement le théorème de transfert homotopique. On sera ensuite armé pour étudier la formalité des produits polyhédraux (Théorème 8.1.2) dont les espaces de Davis--Januszkiewicz (Corollaire 8.1.3 pour le cas Q et Exercice 8.1.11 pour le cas Z). On montrera ensuite que les <<moment-angle complexes>> ne sont pas formels en général en établissant que le produit de Massey triple n'est pas nul (§4.9). Si le temps le permet, on pourra s'intéresser aux complexes simpliciaux de Golod (Définition 4.9.5, Page 345 et Théorème 8.5.11).

Le quatrième exposé (14 décembre) étudiera les espaces de lacets des produits polyhédraux. On s'intéressera à leurs agèbres de Pontryagin (homologie) et leurs algèbres de Lie (homotopie rationnelle). Pour cela, il sera bon de rappeler (brièvement) les définitions des produits de Samelson/Whitehead (Pages 422-424). On présentera la cogèbre des faces et sa construction cobar (définition de l'adjonction bar-cobar à rappeler rapidement) pour formuler la Proposition 8.4.10. On pourra faire le lien avec les modèles en algèbres de Lie différentielles graduées de Quillen (voir l'approche récente de Buijs--Felix--Murillo--Tanré). On concluera en beauté avec le cas des complexes de drapeaux, <<flag complexes>> en anglais (§8.5) dont on montera que les espaces de Davis--Januszkiewicz associés sont coformels, et des espaces de Koszul selon la terminologie de Berglund (Théorème 8.5.6).

Références

Livre de base

Autres références

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Dernières modifications : 28 novembre 2023