L'objectif principal du projet consiste à développer les interactions entre
les perfectoïdes, la cohomologie complétée, la correspondance
de Langlands $p$-adique et la cohomologie de torsion (étale ou cohérente).
Ces sujets sont actuellement en pleine ébullition, citons quelques pistes de recherches.
- On voudrait comprendre les articulations entre la théorie de Langlands $p$-adique et
les théories $p$-adiques des formes modulaires telles qu'elles peuvent être définies par
la notion de surconvergence ou via la cohomologie complétée. Par ailleurs les liens
entre la courbe de Fargues-Fontaine et la construction de Colmez, restent à élucider.
- En ce qui concerne les problèmes de modularité, il devrait être possible d'attaquer
le cas non régulier et ceux pour lesquels il n'existe pas de variétés de Shimura.
- Dans une autre direction, certains membres du projet se proposent d'explorer
les liens entre d'un côté les fonctions $L$ $p$-adiques et de l'autre la théorie d'Iwasawa,les images des représentations galoisiennes.
- Dans un récent papier, Scholze compare la cohomologie des variétés de Shimura en niveau infini à celle de la cohomologie complétée d'Emerton, ce qui en utilisant les stratifications
de Harder-Narasimhan de Fargues, devrait donner un dévissage naturel de la cohomologie
complétée des variétés de Shimura, le lieu non-semi-stable étant par exemple paraboliquement induit.
- Enfin la construction de classes de torsion dans la cohomologie des variétés de
Shimura devrait désormais trouver des applications
arithmétiques intéressantes.
