Comprendre les représentations du groupe de Galois absolu de Q, leurs fonctions L et les informations arithmétiques cachées dans les valeurs de ces fonctions L aux entiers (conjectures de Beilinson et de Bloch-Kato), est un des problèmes principaux en théorie des nombres.
Le programme de Langlands vise à établir une correspondance, préservant les fonctions L, entre les représentations de ce groupe et des représentations de groupes algébriques (ou plutôt de leur points adéliques) vérifiant certaines conditions. A côté du programme de Langlands classique s'est développé un avatar p-adique qui a pris une importance grandissante depuis les travaux de Wiles ayant conduit à la preuve du grand théorème de Fermat.
La cohomologie des espaces symétriques arithmétiques (courbes modulaires, variétés de Shimura, espaces de Rapoport-Zink, champs de Shtukas, etc.) encode de nombreuses instances de la correspondance de Langlands.
Le projet COLOSS est consacré à l'étude des cohomologies de ces espaces, et à leurs applications à la correspondance de Langlands et son avatar p-adique. Il combine un aspect de développement et de raffinement des géométries p-adiques et des cohomologies des variétés p-adiques, et des applications arithmétiques de ces théories.