Quentin Berger

Processus Stochastiques — 2022-2023 (M1, ENS)


Mon bureau est le V7 (couloir vert).

Examen le jeudi 18 janvier : 9h-11h30.


Au programme de l'examen : espérance conditionnelle, martingales, chaînes de Markov, mouvement brownien.
Les notes de cours sont autorisées. Le sujet aura la même structure que l'année dernière. Notamment, pour les 3 derniers exercices (thèmes : martingale, chaîne de Markov, mouvement brownien), j’appliquerai un barème adaptatif suivant vos résultats à ces exercices (un coefficient 1, 2/3 , 1/3 aux notes obtenues rangées par ordre d ́ecroissant), pour favoriser le fait de faire un exercice en entier plutôt que de piocher des questions faciles dans les trois exercices.

Partiels/Examens 2023-24:

Bibliographie


[B] est un classique et l'un de mes préférés.
[D] est une très bonne référence, que j'utiliserai pour la partie sur le mouvement brownien.
[LG] est une excellent référence, en français, bientôt publiée en livre. C'est essentiellement ces notes de cours que je suivrai.
[LM] & [W] sont de très bonnes références, qui peuvent permettre de compléter les deux premières.

Annales:

Déroulé des séances

Compléments sur les convergences de variables aléatoires

Essentiellement dans [B], sections 22, 26, 27, 28.
  • Semaine 1 :
    • Rappels sur les notions de convergence de variables aléatoires réelles (convergence p.s., dans Lp, en probabilité). Tout ça est largement dans [LG, Section 10] et [B]. Plus un exemple, série haromique de signe aléatoire, traité avec l'inégalité maximale de Kolmogorov (voir Théorèmes 22.4 et 22.6 dans [B]). Rappels sur la convergence en loi, lien avec la fonction de répartition et la fonction caractéristique. Tout est dans [LG, Section 10] et [B].
    • Théorème Central Limite, version généralisée de Lindeberg et quelques applications (voir chapitre 27 dans [B], notamment l'exemple 27.3 pour le nombre de cycles d'une permutation aléatoire). Démonstration du TCL de Lindeberg (Théorème 27.2 dans [B]). Théorème de continuité de Lévy pour des variables aléatoires réelles (Théorème 26.3 dans [B]), définition de la tension et théorème de Prohorov (Théorème 25.10 dans [B]).
  • Semaine 2 :
    • Démonstration du théorème de Prohorov dans le cas réel, via le Théorème de Helly (Théorème 25.9 dans [B]). Définition des lois infiniments divisibles (Section 28 de [B]), énoncé du fait que la limite en loi de tableaux de variables aléatoires indépendantes est infiniment divisible (Théorème 28.3 de [B]). Énoncé de la formule de Lévy-Kintchine pour la fonction caractéristique de v.a. infiniment divisibles (Théorème 28.1 de [B]).

Espérance conditionnelle

Chapitre 11 de [LG]
  • Semaine 2 :
    • Conditionnement par des variables aléatoires discrètes ([LG] section 11.1): définition de l'espérance conditionnelle et propriété caractéristique, premiers exemples. Définition du conditionnement par rapport à une tribu.
  • Semaine 3 :
    • Conditionnement par rapport à une tribu. Cas de variables aléatoires intégrables ([LG], section 11.2.1), existence et unicité de l'espérance conditionnelle, propriété caractéristique et premières propriétés. Cas de variables aléatoires positives ([LG], section 11.2.2), même chose qu'avant. Cas de variables de carré intégrable ([LG], section 11.2.3): l'espérance conditionnelle est une projection orthogonale.
    • Propriétés de l'espérance conditionnelle: variables aléatoires G-mesurables, indépendantes de G, espérance conditionnelle d'une fonction de X,Y avec X indépendante de G et Y G-mesurable... Quelques exemples de calcul importants: conditionnement discret, vecteurs à densité, vecteurs gaussiens. Tout est dans [LG, Section 11].
  • Semaine 4 :
    • Fin de la discussion sur le conditionnement pour des vecteurs gaussiens. Discussion à propos des lois conditionnelles, probabilités de transition, voir [LG, Section 11.5].

Martingales

Chapitre 12 de [LG]
  • Semaine 4 :
    • Introduction du vocabulaire et des définitions de martingales, sur et sous-martingales: [LG, Section 12.1].
    • Exemples importants de martingales : martingales fermées, additives (dont marches aléatoires), multiplicatives, urnes de Pólya, processus de branchement. Transformations de martingales (Propositions 12.1.1-12.1.4 dans [LG]).
  • Semaine 5 :
    • Temps d'arrêt ([LG] Section 12.2): définitions, propriétés, théorème d'arrêt (une version qui combine le Théorème 12.2.4 et le Lemme 12.4.1 de [LG]. Démonstration du théorème d'arrêt. Détail d'une application du théorème d'arrêt: la ruine du joueur.
    • Inégalité maximale de Doob, Théorème 12.4.2 de [LG] (et corollaire, inégalité maximale de Kolmogorov). Arrêt optimal: enveloppe de Snell et theeorème d'arrêt optimal. Exemple d'application avec le problème des appartements (aussi connu sous le nom de problème des secrétaires): vous pouvez aller voir le poly de T. Bodineau, chapitre 13 (p.202 pour le problème des secrétaires).
  • Semaine 6 :
    • Convergence p.s. des martingales. Exemples (urnes de Pólya et processus de branchement, marche aléatoire arrêtée en -1). Démonstration de la convergence p.s. avec l'inégalité des montées de Doob. Convergence Lp des martingales ([LG], Théorème 12.4.4), exemples (urnes de Pólya et processus de branchement, marche aléatoire arrêtée en -1).
    • Démonstration de la convergence Lp, inégalité maximale Lp de Doob ([LG], Proposition 12.4.3). Uniforme intégrabilité: définition ([LG] Définition 12.5.1), caractérisation équivalente ([LG] Proposition 12.5.1). Un point important est le Corollaire 12.5.2 de [LG]. Autre caractérisation de l'U.I.: Proposition 12.6 dans Notes.
  • Semaine 7 :
    • La convergence dans L1 est équivalente à la convergence en probabilité + uniforme intégrabilité ([LG] Théorème 12.5.3) et corollaire: "nouveau" théorème de convergence dominée. Convergence dand L1 des martingales ([LG] page 182). Un théorème de Lévy ([B] Théorème 35.6).
      Compléments (hors du programme du partiel)
      Théorèmes d'arrêt, version U.I. ([LG] Théorème 12.5.4). Martingales de carré intégrable et crochet de la martingale ([W] section 12.12), relation entre le crochet et la convergence de la martingale ([W] section 12.13).
    • Décomposition de Doob ([W] section 12.11). Martingales rétrogrades ([LG] section 12.6). Théorème de convergence. Corollaire important: conditionnement par une suite décroissante de tribus ([LG] Corollaire 12.6.2), application à la loi forte des grands nombres ([LG] p.188-189) et au théorème de de Finetti ([B] Théorème 35.10), urnes de Pólya.

Semaine 8 : Partiel

Chaînes de Markov

Chapitre 13 de [LG]
  • Semaine 9 :
    • Chaîne de Markov : définitions et premières propriétés, premiers exemples (sections 13.1 et 13.2 de [LG]).
    • Chaînes de Markov comme systèmes dynamiques aléatoires, construction de chaînes de Markov (notamment chaîne de Markov canonique). Très important: propriété de Markov faible ([LG] Théorème 13.3.4) et propriété de Markov forte ([LG] théorème 13.3.5).
  • Semaine 10 :
    • Définition des états transients, récurrents. Fonction potentiel (fonction de Green), quelques propriétés simples, notamment le Lemme 13.4.3. Définition d'une chaîne de Markov irréductible.
    • Théorème de classification des états ([LG] Théorème 13.4.4), application au processus de branchement. Corollaire 13.4.5 [LG] pour les chaînes irréductibles. Exemple d'une marche aléatoire simple sur Zd, d'une marche générale sur Z.
  • Semaine 11 :
    • Mesures invariantes ([LG] section 13.5) : définition, interprétation. Mesure réversible (exemple d'une marche simple sur un graphe connexe). Théorème d'existence s'il existe un point récurrent (Théorème 13.5.2 [LG]), théorème d'unicité à constante multiplicative près dans le cas irréductible récurrent (Théorème 13.5.3 [LG]).
    • Corollaire 13.5.4 [LG] et définition de chaîne récurrente positive/nulle. Proposition 13.5.5 [LG] : s'il existe une probabilité invariante alors la chaîne est récurrente positive. Comportement asymptotique ([LG] section 13.6). Théorème ergodique (Théorème 13.6.1 [LG]) et son Corollaire 13.6.4 : "loi des grands nombres pour les Chaînes de Markov".
  • Semaine 12 :
    • Notion de période d'une chaîne irréductible (Proposition 13.6.5 [LG]). Convergence vers la probabilité stationnaire (Théorème 13.6.6). Application 1 : théorème de renouvellement.
    • Application 2 : algorithme de Métropolis. Martingales et chaînes de Markov (Section 13.7 [LG]) : fonctions Q-harmoniques (sur-/sous-harmoniques), lien entres fonctions Q-harmoniques et martingales liées à la chaîne de Markov ([LG] Proposition 13.7.1). Application au problème de Dirichlet ([LG] Théorème 13.7.2, caractérisation des solutions bornées).

Mouvement Brownien

Chapitre 14 de [LG], je me base aussi sur le chapitre 7 du livre de Durrett [D] :
  • Semaine 13 : Introduction au mouvement brownien.
    • Limite d'échelle de marches aléatoires : description des lois finies dimensionnelles ([LG] Proposition 14.1.1) et énoncé du théorème de Donsker (Théorème 8.1.4 de [D]). Définition du mouvement brownien ([LG] Definition 14.1.1), définition équivalente avec la covariance du processus gaussien (p.355 de [D]).
    • Démonstration de l'existence du mouvement brownien via le critère de continuité de Kolmogorov (Théorème 7.1.3 de [D]), construction de l'espace canonique (mesure de Wiener). Quelques propriétés du mouvement brownien (Section 14.4 de [LG]) : propriété de Markov simple, loi du 0-1 de Blumenthal ([LG] Théorème 14.4.2).
  • Semaine 14 :
    • Démonstration de la loi du 0-1 de Blumenthal, et quelques conséquences ([LG] Corollaire 14.4.3). Renversement du temps et conséquence ([D] Théorèmes 7.2.6 et 7.2.8). Définition de temps d'arrêt continu et énoncé de la propriété de Markov forte ([LG] Théorèmes 14.5.1 et 14.5.4).
    • Démonstration de la propriété de Markov forte. Application: principe de réflexion et conséquences ([LG] Théorème 14.5.2 et Corollaire 14.5.3). Mouvement brownien et martingales ([D] Section 7.5). Définition de martingales et exemples. Définition d'une filtration continue à droite et avantages de cette propriété (notamment concernant les temps d'arrêts). Théorème d'arrêt pour une martingale continue à droite relativement à une filtration continue à droite ([D] Théorème 7.5.1). Applications pour les temps d'atteinte du brownien en dimension d=1 ([D] Théorème 7.5.4).
  • Semaine 15 :
    • Compléments sur le mouvement brownien en dimension supérieure à 2, fonctions harmoniques et problème de Dirichlet.
    • Séance de révision : correction d'exercices de l'Examen 2022-23.

Feuilles de TD

Les TDs sont assurés par Théo Lenoir. Ils débutent le jeudi 21 septembre (un TD de révision est prévu le 14 septembre). Les feuilles d'exercices seront aussi déposées au fur et à mesure sur le Moodle du cours, avec leur corrigés.