ANR SAT
Structures supérieures en Algèbre et Topologie
Activités
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ANR SAT
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Conférence
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Workshop on Factorisation Algebras and Homology and the Cobordism Hypothesis (February 5-8, Saint-Etienne de Tinée) | Abstract:
I will recall some facts about the little disks operad, configurations
of points on manifolds and how they can be used to study spaces of
embeddings between manifolds. |
| Abstract: In
the first part of this talk we will review the main classical results
and tools involved in showing the formality of the little discs operad,
such as the Fulton-MacPherson compactification of configuration spaces
of points and the graph complexes involved. Then, we will see how the
same kind of tools can be used to understand the rational homotopy of
configuration spaces of points on general manifolds and, under good
conditions, how to recover the operadic right action of the little
discs operad. References:
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| Abstract:
In these two talks we will explain some recent work whose purpose is to
equip the higher dimensional little disks operads with an action of the
Grothendieck-Teichmueller group. This action can be used to extract
some integral information about the Goodwillie Weiss spectral sequence
for spaces of knots. |
| Abstract: We will introduce the notion of factorization algebra and give examples. We will see how a bimodule is encoded by a constructible factorization algebra, and how Hochschild homology arises in this context as factorization homology on the circle. We will also give some examples of more physical nature: observables for quantum mechanics, holomorphic factorization algebras, etc. Finally, we will explore the relation between factorization algebras and the functorial picture of QFT. References:
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| Abstract:
We’ll explain a proposed integer version of universal finite type knot
invariants. It comes from the Goodwillie-Weiss embedding tower,
configuration spaces and grope cobordism. References:
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| Abstract: In this talk, I'll outline a proof of the cobordism hypothesis using factorization homology. Then, I'll dwell on definitions supporting factorization homology, giving amble context and motivation. Then, I'll revisit the proof of the cobordism hypothesis. References:
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| Abstract:
In a first part, we will discuss factorizations algebras related to
Chern-Simons theory defined as mapping stacks from a base manifold to
the classifying stack of a group, its shifted symplectic structure. In
a second part we will show that this structure is giving back
Chas-Sullivan bracket in string topology. This is joint work in
progress with O. Gwilliam and M. Zeinalian. References: |
| Abstract:
We explain the approach to algebraic type index theorems via the
Batalin-Vilkovisky (BV) quantization of sigma models. In the first
lecture, we explain the connection between the one-dimensional
topological sigma model and an algebraic analog of the Atiyah-Singer
index theorem due to Fedosov and Nest-Tsygan. In the second lecture, we
discuss the two-dimensional beta-gamma system and formulate a chiral
analog of the algebraic index theorem in terms of factorization
homology along elliptic curves. This can be viewed as a version of the ordinary index theorem on the free loop space. References:
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| Abstract:
In this first part of the talk, I will recall a ``factorization model''
of a higher Morita category using constructible factorization algebras
on very simple stratified spaces. I will explain how one can use
geometric arguments to obtain dualizablity results therein. Not
surprisingly, string diagrams play a role. In the second part we first recall the set-up of twisted field theories and their characterization in the fully extended topological case. Then we will use this and the above result to obtain low-dimensional examples of twisted topological field theories with this target, which can be thought of as ``relative’’ to their factorization algebra/homology of observables. This is joint work with Owen Gwilliam. References:
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du 26 février au 2 mars 2017 à Saint-Etienne de Tinée| Résumé : Je
commencerai par une nouvelle démonstration du théorème de transfert
homotopique qui utilise la théorie de la déformation des algèbre
préLie. Dans le cas le plus simple, à savoir celui des modules sur
l'algèbre des nombres duaux, je montrerai que ce théorème est
équivalent au théorème de convergence des suites spectrales. Ceci
permet de retrouver plus concéptuellement la définition de l'homologie
cyclique et de ses caractères de Chern. Références : - V. Dotsenko, S. Shadrin, B. Vallette, PreLie Deformation Theory, Moscow Mathematical Journal, Volume 16, Issue 3 (2016) 505-543. ArXiv:1502.03280 - J.-L. Loday, Cyclic Homology, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 301, 1992. xviii+454 pp. |
| Résumé
: Après un bref rappel sur les définitions d'une A_\infty - catégorie
et d'un A_\infty - bimodule, je présenterais l'étude du cas du A_\infty
-A-B-bimodule, Cat_\infty (A,B,K) muni des structures d'action dérivée
à droite et à gauche généralisant le cas des algèbres différentielles
graduées. La décomposition du complexe de Hochschild de Cat_\infty
(A,B,K) permet alors la généralisation dans le cadre des A_\infty
catégories d'un théorème dut à Keller pour les algèbres différentielles
gradués, celui ci donnant une condition sur les actions dérivés pour
que les projections canoniques du complexe de Hochshild de Cat_\infty
(A,B,K) sur le complexe de Hochschild de A et de B soient des
quasi-isomorphismes. J’essaierais d'introduire en exemple le cas du
bimodule construit à partir de l'algèbre symétrique et l'algèbre
extérieure d'un espace vectoriel sur k. Références : - D.Calaque, G.Felder, A.Ferrario, C.A.Rossi, , Bimodules and branes in deformation quantization, Compos.Math.147, arXiv:0908.2299 . |
| Résumé : Le
théorème fondamental de la théorie de la déformation en caractéristique
0 affirme que tout problème de déformation peut être encodé par une
algèbre de Lie différentielle graduée, voire une algèbre de Lie à
homotopie près. Dans ce contexte, il existe un infini-groupoïde dit de
Deligne—Hinich—Getzler qui code les éléments de Maurer—Cartan de telles
algèbres. Dans la première partie de l’exposé, je rappellerai cette
construction et je donnerai un nouvel infini-groupoïde plus petit mais
qui lui est homotopiquement équivalent. Dans le cas des algèbres de Lie
différentielles graduées, je montrerai que cet infini-groupoïde peut
être représenté par une algèbre de Lie différentielle graduée
simpliciale universelle. La grande majorité des démonstrations
utilisent de nouveaux résultats du calcul opéradique, que je
détaillerai dans la seconde partie de l’exposé. Références : - D. Robert-Nicoud, Deformation theory with homotopy algebra structures on tensor products, arXiv:1702.02194 . - D. Robert-Nicoud, Representing the Deligne-Hinich-Getzler ∞-groupoid, arXiv:1702.02529 . |
| Résumé
: Je vais parler des complexes mixtes gradués et de leurs réalisations,
ainsi que de quelques raisons pour lesquelles on s'intéresse à ces
objets. Si le temps le permet j'expliquerai aussi brièvement comment
ces objets apparaissent quand on étudie les problèmes de modules
formels et les champs formels. L'exposé sera complémentaire de celui de
Bruno Références : - Damien Calaque, Tony Pantev, Bertrand Toën, Michel Vaquié, Gabriele Vezzosi, Shifted Poisson Structures and Deformation Quantization, arXiv:1506.03699 . - Owen Gwilliam et Dmitri Pavlov, Enhancing the filtered derived category, arXiv:1602.01515 . - Bertrand Toën, Problèmes de modules formels, séminaire Bourbaki, PDF. (seulement les passages sur les objets mixtes gradués) |
| Résumé
: I will explain how to get homological Chen connection from the methods of the homotopy transfer theorem. Références : - To appear ... |
| Résumé
: Les espaces L-infini ont été introduit par Kevin Costello dans
le but de donner une construction géométrique du genre de Witten. Ils
représentent des variétés dérivées et à travers l’idée que tout
problème de modules formel peut être représenté par une algèbre
L-infini, ils peuvent être pensés comme des familles de problèmes de
modules formels paramétrées par des variétés. Nous présenterons dans cet exposé la notion d’espace L-infini puis nous verrons des exemples. Le premier exemple sera celui d’un espace L-infini qui code un épaississement formel d’une variété lisse. Comme les espaces L-infini ont été développés pour décrire des espaces d’applications dérivés, le deuxième exemple que nous présenterons sera donné par les espaces de lacets dérivés. Pour finir, nous décrirons les algébroïdes de Lie comme des espaces L-infini. Si le temps le permet, nous irons un peu plus loin dans l’étude des espaces L-infini en direction des espaces de modules. Références : - Ryan Grady et Owen Gwilliam, L-infinity spaces and derived loop spaces, arXiv:1404.5426 . - Ryan Grady et Owen Gwilliam, Lie algebroids as L_infinity-spaces, arXiv:1604.00711 . - Junwu Tu, Homotopy L-infinity spaces, arXiv:1411.5115 . - Kevin Costello, A geometric construction of the Witten genus II, arXiv:1112.0816. |
| Résumé
: Je parlerai d’un travail en cours avec Damien. Si X est un
sous-schéma fermé lisse d’un schéma fermé ambiant Y, le fibré conormal de X dans Y décalé de -1 est naturellement un algébroïde de Lie. Fort heureusement, si certaines conditions géométriques (découvertes par Shilin Yu) sont vérifiées, cet algébroïde de Lie est un honnête objet de Lie dans la catégorie dérivée des faisceaux cohérents sur X. Certains résultats de théorie de Lie convenablement généralisés au cas catégorique permettent alors d'obtenir « facilement » des conséquences géométriques captivantes. Références : - Arinkin Caldararu, When is the self-intersection of a subvariety a fibration?, https://arxiv.org/abs/1007.1671 - Calaque, Caldararu, Tu, On the Lie algebroid of a derived self-intersection, http://arxiv.org/abs/1306.5260 - Ramadoss, The relative Riemann-Roch theorem from Hochschild homology, https://arxiv.org/abs/math/0603127 - Shilin Yu, Todd Class via homotopy perturbation theory, https://arxiv.org/abs/1510.07936 |
du 11 au 14 avril 2016 à l'université de Montpellier | Résumé : Je commencerai par des rappels sur les systèmes locaux (les "trucs"
localement constants en général) et les représentations du groupoïde
fondamental. Je mentionnerai ensuite quelques opérations sur les
faisceaux. Je définirai ensuite la 2-catégorie des chemins sortant pour
une bonne classe d'espaces topologiques stratifiés, et énoncerai un
théorème de Van Kampen pour celle-ci (non sans avoir rappelé la version
pour le groupoïde fondamental). On parlera un peu de faisceaux et
champs constructibles avant d'aborder la version \infty-catégorique de
Lurie (qui a ses avantages). Références : - D. Treumann, Exit paths and constructible stacks, Compositio Mathematica 145 (2009), no. 06, 1504--1532. ArXiv:0708.0659 - J. Lurie, Appendices A.6 et A.7 de Higher Algebra, http://www.math.harvard.edu/~lurie/papers/higheralgebra.pdf |
| Résumé
: Dans une première partie, je donnerai la construction "simpliciale"
de l'homologie d'intersection, illustrée par son calcul sur quelques
exemples. Puis, je passerai au point de vue faisceautique, point de
départ de la théorie des faisceaux pervers. Références : - Markus Banagl: "Topological Invariants of Stratified Spaces. "Springer Monographs in Mathematics, Springer Verlag Berlin-Heidelberg 2007. - Kirwan, F., & Woolf, J, An introduction to intersection homology theory. Boca Raton: Chapman & Hall / CRC Press. (2006) |
| Résumé:
La dualité de Poincaré pour l'homologie d'intersection à coefficient
dans un corps a été montrée par Goresky et MacPherson dans leur article
introduisant l'homologie d'intersection en 1980. On présentera une
construction alternative de la cohomologie d'intersection, fournissant
un cadre combinatoire permettant d'étendre la dualité de Poincaré à un
anneau quelconque. Références : - M. Goresky and R. MacPherson, Intersection homology theory, Topology 19 (1980) - G. Friedman, Singular intersection homology, http://faculty.tcu.edu/gfriedman/IHbook.pdf - D. Chataur, M. Saralegi-Aranguren and D. Tanré, Dualité de Poincaré et homologie d'intersection, arXiv:1603.08773 |
| Résumé
: Même si le problème initial n'était pas formulé de manière
faisceautique, la recherche d'un complexe de faisceaux auto-dual
au sens de Verdier est à l'origine de l'introduction de l'homologie
d'intersection. Le but du jeu étant de récupérer une forme quadratique
dont la signature est un invariant pour des théories de bordismes. On
se propose de raconter comment ce problème a conduit successivement à
introduire: - les espaces de Witt, - les IP-espaces de Pardon, - les L-espaces de Banagl, et enfin les mezzo-perversités. Références : - Pierre Albin, "On the Hodge theory of stratified spaces" arXiv:1603.04106 - Markus Banagl: "Topological Invariants of Stratified Spaces. "Springer Monographs in Mathematics, Springer Verlag Berlin-Heidelberg 2007. |
| Résumé
: Je commencerai par revoir brièvement les notions de faisceau
constructible et de stratification. Puis j'introduirai la notion de
faisceaux pervers puis la notion de t-strucuture. Je présenterai
ensuite la t-structure des faisceaux pervers. Je discuterai les
faisceaux pervers simples et enfin les liens avec l'homologie
d'intersections. Références : - A. Beilinson, J. Bernstein, and P. Deligne, Faisceaux pervers, in Analysis and Topology on Singular Spaces I (Luminy, 1981), Astérisque, Vol. 100, Société Mathématique de France, Paris, 1982, 5–171. - S. Guillermou, Introduction au faisceaux pervers, https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~guillerm/fp.ps - R. Hotta & K. Takeuchi & T. Tanisaki, D-Modules, Perverse Sheaves, and Representation Theory, volume 236 of Progress in Mathematics. Birkhäuser Boston Inc. - M. Kashiwara and P. Schapira. Sheaves on manifolds, volume 292 of Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Springer-Verlag, Berlin, 1990. With a chapter in French by Christian Houzel. - Cours de Geordie Williamson : http://people.mpim-bonn.mpg.de/geordie/perverse_course/ |
| Résumé:
Les Schobers pervers sont des objets dont l’existence a été conjecturée
par Kapranov et Schechtman et qui sont censés catégorifier la notion de
faisceau pervers. Ces objets sont définis dans des cas particuliers
(surfaces et arrangements d’hyperplans réels) qu’on étudiera. On
commencera par expliquer les description en termes de carquois de
certaines catégories de faisceaux pervers. Références : - Perverse Schobers, Kapronov--Schechtman, ArXiv:1411.2772. - Perverse sheaves over real hyperplane arrangements, ArXiv:1403.5800. - Perverse sheaves and graphs on surfaces, ArXiv:1601.01789. Pour des références sur la description en termes de carquois des catégories de faisceaux pervers : - Galligo--Granger--Maisonobe, D-modules et faisceaux pervers dont le support singulier est un croisement normal, Article. - A. Beilinson, How to glue perverse sheaves, Article. |
| Résumé
: L’étude de la classification des surfaces de Riemann compactes,
c’est-à-dire des variétés complexes de dimension 1, est un problème de
modules célèbre. Nous nous concentrerons dans cet exposé sur l'étude
des courbes de genre 0. Nous décrirons tout d'abord certaines stratifications de compactifications d’espaces de modules associés aux courbes de genre 0 avec des points marqués, ainsi qu’une généralisation non commutative. Dans ce contexte, des opérades apparaissent naturellement, pour lesquelles le nombre de points marqués (moins 1) correspond justement à l’arité. Nous présenterons ensuite l’intérêt de l’utilisation des structures de Hodge mixtes dans les différentes situations considérées. Nous obtiendrons de cette façon des résultats de dualité de Koszul. Références : - E. Getzler, Operads and moduli spaces of genus 0 Riemann surfaces, In “The moduli space of curves (Texel Island,1994)”, Progr. Math., vol. 129, Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1995, 199–230. ArXiv:9411004 - Dupont--Vallette, Brown's moduli spaces of curves and the Gravity operad, ArXiv:1509.08840 - Alm--Peterson, Brown's dihedral moduli space and freedom of the gravity operad, Arxiv:1509.09274 - Dotsenko--Shadrin--Vallette, A Noncommutative M_{0,n+1}, ArXiv:1510.03261 - C. Dupont, Espaces de modules de courbes en genre zéro et opérades, mémoire de M2, Lien |
du 9 au 12 mars 2015 au CIRM Luminy page web de la rencontre | Résumé :
J'expliquerai comment on peut décrire efficacement la théorie
homotopique des algèbres sur une opérade en munissant la catégorie
"duale" des cogèbres sur la coopérade duale de Koszul d'une structure
de catégorie de modèles Quillen équivalentes. Référence : ArXiv:1411.5533. |
| Résumé : Je développerai
la théorie homotopique des opérades sur un anneau en prenant fidèlement
en compte l'action des groupes symétriques. Cela donnera naissance à
une nouvelle catégorie de coopérades "duale" de celle des opérades, à
une nouvelle constuction bar et à une nouvelle construction cobar. La
construction bar-cobar fournit alors un foncteur de remplacement
cofibrant sur tout anneau. Appliqué à l'opérade Com des algèbres
associatives. Référence : ArXiv:1503.02701. |
| Résumé
:
Je présenterai tout d'abord la notion d'algèbre à courbure et je
donnerai quelques exemples. Je proposerai ensuite un formalisme pour
les étudier à l'aide des opérades et retrouver les notions à homotopies
près présentes dans la littérature. |
| Résumé
: Je présenterai la catégorie des ensembles dendroïdaux et sa structure
de modèle introduites respectivement par Moerdijk et Weiss et par
Cisinski et Moerdijk. J'introduirai ensuite les opérades homotopiques
colorées strictement unitaires. Je construirai un foncteur, le nerf
dendroïdal, depuis cette catégorie et les ensembles dendroïdaux
fibrants : les infini-opérades. Enfin je montrerai que ce foncteur
généralise des notions plus anciennes comme le nerf des A-infini
catégories de Faonte et Lurie et le nerf homotopiquement cohérent de
Berger et Moerdijk et je présenterai ses propriétés homotopiques. Référence : ArXiv:1412.4968. |
| Résumé
:
Je parlerai de la théorie formelle des catégories supérieures,
notamment avec les idées récement développées par E. Riehl et D.
Verity. Dans ce cas-là, on arrive à comprendre des choses concernant
les catégories (infini,1), par example modélisées par les
quasicatégories, en utilisant les techniques 2-catégoriques et des
propriétés faiblement universelles de certains objets dans la
2-catégorie homotopique des catégories (infini,1). Dans la deuxième
partie de mon exposé, je souhaite expliquer une approche de
l’axiomatisation des catégories supérieures donnée par B. Toën. |
| Résumé
:
Je commencerai par rappeler la dualité de Verdier classique pour les
espaces localement compacts, puis je m’attarderai sur son
interprétation dans les infinies-catégories et sur le théorème de
Lurie. Enfin je présenterai une approche globale pour étendre la
dualité à des espaces bien plus généraux. |
| Résumé
:
J'introduirai la notion et donnerai des exemples dans un premier temps.
Je passerai ensuite du temps sur le cas des algèbres à factorisations
localement constantes, et finirai par parler un peu de TFTs. Référence : Thèse de Claudia Scheimbauer |
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B. Vallette, Algebraic and topological operads, (mars 2016, école de printemps à l'université Shinshu de Matsumoto, Japon). page web de l'école |
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D.Calaque, Applications of shifted and Lagrangian structrues to topological field theories (7-11 avril, 2015, Warwick EPSRC Symposium on "Derived Algebraic Geometry, with a focus on derived symplectic techniques"). page web de l'école |
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D.Calaque, Classes d'Atiyah en Algèbre et en Géométrie (13-24 avril, 2015, Marrakech, Ecole de recherches du CIMPA sur "Géométrie différentielle et algèbres non associatives"). page web de l'école |
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D.Calaque, Algèbres à factorisations (2015, Cours de Master II de l'université Montpellier). page web du Master I |