Résumé
``L'algèbre et la théorie de l'homotopie se marient mal à priori'' se
plaisait à dire Saunders MacLane, car les structures algébriques ne
sont en général pas stables par homotopie. Et pourtant, les
mathématiques regorgent de structures algébriques sur des complexes de
chaînes, par exemple. En topologie algébrique, le complexe des
cochaînes singulières d'un espace topologique est muni d'un produit
associatif. En géométrie différentielle, le complexe de de Rham d'une
variété est muni d'un produit commutatif. Et la théorie de la
déformation est basée sur la notion d'algèbre de Lie différentielle
graduée.
Il faut prendre le constat de MacLane de manière positive : il y a là
une source féconde de beaux développements mathématiques qui permettent
de décrire les propriétés homotopiques des types d'algèbres, avec des
applications en algèbre, géométrie, topologie, etc.
Le but de ce cours sera de familiariser les étudiant-e-s avec certains
outils modernes de l'algèbre homotopique. On commencera par se faire la
main sur des exemples cruciaux d'algèbres différentielles graduées et
leurs propriétés, comme le théorème de transfert homotopique. On verra
ensuite comment coder conceptuellement les différents types de
structures algébriques avec la notion d'opérade. La théorie des
opérades, dont la dualité de Koszul, nous fournira des outils
fondamentaux pour décrire les propriétés homotopiques des algèbres
différentielles graduées. On conclura ce cours par des applications
récentes et élégantes en théorie de la déformation (algèbre pré-Lie et
infini-groupoïde).
Ce cours s'inscrit dans le prolongement de celui d'
Algèbre homologique et topologie algébrique donné par Muriel Livernet (cours de base, septembre-octobre 2017) et il ouvre naturellement sur celui d'
Introduction à la théorie de l'homotopie donné par Gregory Ginot et Marco Robalo (second semestr e, 2018).
Plan du cours
- I. Algèbres différentielles graduée
- Exemples : les trois grâces
- Le thérorème de transfert homotopique pour les algèbres associatives différentielles graduées
- Constructions
- Définitions
- Algèbres libres
- Présentation par générateurs et relations
- Coopérades
- Opérades différentielles graduées
- Dualité de Koszul des algèbres associatives
- Constructions opéradiques
- Dualité de Koszul des opérades
- IV. Algèbre à homotopie près et théorie de la déformation
- Algèbres à homotopie près et théorème de transfert homotopique
- Théorie de la déformation
Feuilles de Travaux
Dirigés
Feuille n°1 :
Algèbre différentielle graduée 
Feuille n°2 :
Algèbre différentielle graduée Bis
Feuille n°3 :
Opérades
Feuille n°4 :
Opérades Bis
Feuille n°5 :
Dualité de Koszul des opérades
Correction de l'exercice 5 de la feuille 5
Examen
Examen du 21 décembre 2017
Corrigé de l'examen
Références
- Algebraic Operads, Jean-Louis Loday et Bruno Vallette, Grundlehren der mathematischen
Wissenschaften, Volume 346, Springer-Verlag (2012).
- Algebra+Homotopy=Operads, Bruno Vallette, in "Symplectic, Poisson and Noncommutative Geometry", MSRI Publications 62 (2014), 101-162.
Organisation
Les cours auront lieu du 8 novembre au 15 décembre 2017 à
raison de deux séances de 3 heures de cours dont 1h30 de travaux
dirigés (les jeudis matin de 10h à 11h30) par semaine.
Prérequis
Algèbre homologique de base (complexe de chaînes, homotopie, produit
tensoriel) et rudiments de théorie des catégories (catégorie, foncteur,
catégorie monoïdale, monade).
Enseignant
Bruno Vallette (Cours/TDs)