Groupe de Travail
(Algèbre et Topologie)
Thème : Topologie des
Cordes (String Topology)
Les
exposés ont lieu les lundi à 14 heures au
rez-de-chaussée du laboratoire J.A. Dieudonné (Nice).
Exposés :
27 septembre 2004 : Exposé introductif par
Clemens Berger
04 octobre
2004 : Différentes
structures algébriques en Topologie des Cordes par Bruno
Vallette
11 octobre
2004 : Définition
géométrique de l'homologie d'après Jakob
par Marc Aubry
8 novembre
2004 : Un peu
de variétés de dimension infinie par
Georges Elencwajg
22 novembre 2004 : Produit de lacets par Clemens
Berger
21
février 2005 : "Combinatorial
Lie bialgebras of curves on surfaces" de [Chas]
par Emeric Gioan
28
février 2005 : "Quasi-Frobenius
rational loop algebra" de
[D.
Chataur, J.-C. Thomas], Partie I, par Marc
Aubry
14 mars
2005 : "Quasi-Frobenius
rational loop algebra" de
[D.
Chataur, J.-C. Thomas], Partie II, par Marc
Aubry
21
mars 2005 : "Rational
string topology" de
[Félix, Thomas, Vigué-Poirrier] par Marc
Aubry
A venir :
Définition
topologique du "loop
product" II par
François-Xavier Dehon
"A
homotopy theoretic realization of string
topology" par Frédéric Patras
(en français ;)
Structures de bigèbre de Lie
à involution et d'algèbre de Frobenius [Chas-Sullivan] et
[Cohen-Godin] par Bruno Vallette
Opérade cacti et opérade des
petits disques à bord [Kaufmann] et [Getzler] par Clemens
Berger
Références :
Définitions des structures d'algèbre de
Batalin-Vilkoviski et d'algèbre de Gerstenhaber sur H(LM)
M. Chas, D.
Sullivan, String Topology,
preprint, math.GT/9911159.
Défintions
géométriques des différentes structures
algébriques.
R. L. Cohen, J. D.S. Jones, A
homotopy theoretic realization of string topology, Math.
Ann. 324
(2002), n. 4, 773--798.
Réalisation plus
générale du
produit précédent.
D.
Chataur, A
bordism approach to string topology, preprint.
Définitions des
différentes structures
algébriques grâce à la théorie des
intersections dans des variétés de Hilbert
et aux théories
géométriques
d'homologie de Jakob. Description de ces structures algébriques
en terme de gèbre sur
le prop des "chord diagrams" de Sullivan.
Définitions de structures de bigèbre de Lie
"à involution" (ou combinatoire) et de (al)gèbre de
Frobenius sur H(LM)
M.
Chas, Combinatorial Lie bialgebras
of curves on
surfaces, preprint, math.GT/0105178.
Généralisation de la
structure de
bigèbre de Lie "à involution" inventée par Goldman
et Turaev pour les courbes sur des
surface. Description
combinatoire à l'aide de
mots cycliques.
M.
Chas, D. Sullivan, Closed string
operators in topology
leading to Lie bialgebras and higher string algebra, preprint, math.GT/0212358.
Autre définition ...
R.
Cohen, V. Godin, A polarized view of
string topology, preprint,
math.GT/0303003.
Description de la structure de
(al)gèbre de
Frobenius commutative unitaire sur H(LM).
Réalisation opéradique de la structure de
BV-algèbre et généralisation à des
dimensions supérieures.
R. L. Cohen,
J. D.S. Jones, A homotopy theoretic
realization of string topology, Math.
Ann. 324 (2002), n. 4, 773-798.
Opérade cactus (homotopiquement équivalente à)
opérades des petits disques à bord (de dimension 2),
action sur C(LM).
(Une algèbre sur l'homologie de
l'opérade des petits disques à bord de dimension 2 est
une BV-algèbre, cf. E. Getzler)
A.A.
Voronov, Notes on universal algebra,
preprint, math.QA/0111009.
Opérade Cactus, opérade
des
petits disques à bord, généralisation à
Map(S^n, M) (avec D. Sullivan ...).
P. Hu, Higher
string topology on general spaces, preprint, math.AT/0401081.
Le complexe de chaîne d'un
spectre
associé à Map(S^k, M) a une structure d'algèbre
sur l'opérade des petits disques
de dimension k+1. (Utilise la
démonstration
de la conjecture de Deligne-Kontsevich [Hu-Kriz-Voronov],
Dualité de Koszul ...).
Liens avec l'homologie de Hochschild
Les
groupes de cohomologie de Hochschild HH^*(C^*(M), C^*(M)) sont
munis d'une structure d'algèbre de Gerstenhaber (cf. [Gerstenhaber]), où
C^*(M) représente les cochaines
de l'homologie singulière
de M. Peut-on comparer cette structure avec celle d'algèbre de
Gerstenhaber sur H(LM) ?
R. L. Cohen, J.
D.S. Jones, A homotopy theoretic realization of string
topology, Math.
Ann. 324 (2002), n. 4, 773-798.
Les deux algèbres (H(LM), produit défini par
Chas-Sullivan) et (HH^*(C^*(M), C^*(M)), cup produit) sont isomorphes.
T.
Tradler, Ph. D. Thesis.
On a plus ...
Liens avec l'homologie cyclique
S¹
agit sur LM donc sur H(LM) ... (HC(C^*(M)) n'est pas loin). [A
suivre ...]
Liens avec l'homotopie rationnelle
Y.
Felix, J.-C. Thomas, M. Vigué-Poirrier,
Rational string topology, preprint, math.AT/0406593.
D.
Chataur, J.-C. Thomas, Quasi-Frobenius rational loop algebra, preprint,
math.AT/0407014.
Description rationnelle des produits et coproduit (loop product, string
bracket, quasigèbre
de Frobenius).
Autres références
M.
Gerstenhaber, The cohomology
structure of an associative ring, Ann. of Math. (2) 78 (1963), 267-288.
Définition d'une algèbre de
Gerstenhaber, Structure d'algèbre de Gerstenhaber sur HH^*(A, A).
E.
Getzler, Batalin-Vilkovisky algebras
and two-dimentional
topoogical field theories, Comm. Math. Phys. 159 (1994), 265-285.
Définition d'une algèbre de
Batalin-Vilkovisky, lien avec l'opérade
des petits disques, Structure d'algèbre BV sur H(\Omega^2 M)
lorsque
M est munie d'une action de S^1.
M.
Jakob,
A bordism-type description of homology, Manuscripta
Math. 96 (1998), no. 1, 67-80.
M.
Jakob,
An alternative approach to homology, Une
dégustation topologique [Topological morsels]: homotopy theory
in the Swiss Alps(Arolla, 1999), 87-97,
Contemp. Math., 265, Amer. Math. Soc., Providence,
RI.
M.
Jakob, Bivariant theories for smooth manifolds, Appl.
Categ. Structures 10 (2002),
no. 3, 279-290.
Approche géométrique des théories homologiques.
[...]
R.
Kaufmann, On several varieties of cacti and their
relations, preprint, math.QA/0209131.
R.
Kaufmann, M. Livernet, R.C. Penner, Arc operads and arc algebras, preprint,
math.GT/0209132.
Opérades cactus, des petits disques
(à
bord), Arc.
Liens :
Séminaire de
Topologie de l'école polytechnique fédérale de
Lausanne (Année 2003-2004 consacrée à la
topologie des cordes).
Summer School on String
Topology and Hochschild Homology, Application to Mathematical Physics,
(Almeria, September 2003).
Images :
Exemple de surface à bord décrite à l'aide de mots
cycliques : Tore
à trou.
(Image
réalisée par Emeric Gioan).
Participants :
Marc AUBRY
Clemens BERGER
Jean-Louis CATHELINEAU
François-Xavier DEHON
Georges ELENCWAJG
Emeric GIOAN
Frédéric
PATRAS
Bruno VALLETTE
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Dernières modifications : 1 mars
2005 (ATTENTION,
page en évolution, rien de ce qui est écrit ici ne pourra
être retenu contre moi.)