Formation M2 mathématiques des données
Semestre1
BlocOutils mathématiques pour le traitement et l'analyse des données
EnseignantsCours : Bastien Mallein. TD/TP :
Crédits 3 ECTS
Horaires 15h de cours + 15h de TD/TP
ValidationContrôle continu+examen

Présentation

Ce cours a pour but de familiariser les étudiants avec les notions d'intégrale et d'équation différentielle stochastiques en vue d’applications à la modélisation et l’analyse des données.

Le calcul stochastique est un outil utilisé dans la modélisation d’un grand nombre de phénomènes de la physique, la biologie, les neurosciences ou la finance. Les équations différentielles stochastiques sont également une méthode efficace pour déterminer les solutions d’une équation aux dérivées partielles, en particulier dans le cas des problèmes en grandes dimensions, tels que les problèmes de repliement des protéines, pour lesquels les méthodes d'éléments finis deviennent inapplicables. C’est donc une méthode essentielle de l’analyse de données en grandes dimensions, pour explorer l’espace des paramètres.

Les points qui pourront être abordés pendant ce cours sont les suivants :

  • Propriétés du mouvement brownien. Le mouvement Brownien est la brique élémentaire sur laquelle le calcul stochastique est construit. On étudiera donc en détails ses propriétés principale (Hölder continuité, propriété de Markov forte) et des méthodes efficientes pour le construire.
  • Intégrale stochastique. On donnera un aperçu de la construction de l'intégrale d'un processus contre le mouvement Brownien. On parlera à cette occasion de la classe des semi-martingales, le résultat principal étant la célèbre Formule d’Itô.
  • Équations différentielles stochastiques (EDS). Grâce aux notions précédentes, on introduira les équations différentielles stochastiques et on étudiera certaines de leurs propriétés (propriété de Markov forte, de flot,...).
  • Formule de Feynman-Kac. On fera ici le lien entre les solutions d'EDS et les solutions d'équations aux dérivées partielles paraboliques (EDP).
  • Schéma d'Euler pour la résolution des EDS. On montrera comment la formule de Feyman-Kac et les EDS peuvent être utilisées pour estimer les solutions d'EDP via des méthodes de Monte-Carlo.

    • On verra en TD et TP des applications des résultats du cours en finance quantitative , en neurosciences et en biologie . On s’intéressera également aux méthodes utilisées pour estimer les coefficients d’une EDS , et à l’application du calcul stochastique à l’analyse des données .