Formation M2 mathématiques des données
Semestre1
BlocSécurité et intégrité des données
EnseignantsCours : Pascal Boyer et Julien Lavauzelle. TD/TP : Julien Lavauzelle.
Crédits 4 ECTS
Horaires 15h de cours + 12h de TD + 15h de TP
ValidationContrôle continu

Présentation

Dans notre société de communication, outre la confidentialité des échanges d’informations, la certification de l’exactitude des données reçues est un problème crucial. En effet des erreurs de transmission ou de lecture apparaissent régulièrement et il est important d’apporter de la redondance dans les messages envoyés afin de pouvoir retrouver le message dans son intégrité. La théorie des codes est l’art d’apporter une telle redondance en maîtrisant les coûts et en maximisant le taux de correction. On introduit ainsi :

  • le rendement R<1 égal au rapport du nombre de symbole de chaque mot du message signifiant par celui transmis effectivement,
  • le rapport d entre la distance minimale entre deux mots du code et la taille du code.

On dit qu’un code est excellent lorsque le couple (R_n,d_n) indexé par la taille n du code, dépasse pour n assez grand, la borne de Gilbert-Varshamov. Les codes de Goppa sur les corps finis atteignent cette borne mais il a fallu attendre l’utilisation de la géométrie algébrique pour la dépasser.

Le cours naviguera entre les ingrédients théoriques indispensables de la géométrie algébrique et l’implantation sur ordinateur de codes.

  • Outils de géométrie algébrique : l’idée est de savoir construire des courbes algébriques possédant de nombreux points rationnels. Nous introduirons donc les courbes algébriques, leurs corps de fonctions, leurs places et leurs diviseurs. Le théorème de Riemann-Roch sera le point culminant de cette partie théorique du cours.
  • On étudiera ensuite les codes de Goppa, de Reed-Solomon généralisés et l’attaque de Sidelnikov-Shestakov, ainsi que les cryptosystèmes McEliece et Nederreiter.
  • On présentera aussi les outils basiques mais importants que sont les fonctions de hachage, puis les concepts de signature électronique et de blockchain basés sur cet outil.