Formation M2 mathématiques des données
Semestre1
BlocOutils mathématiques pour le traitement et l'analyse des données
EnseignantsCours : Julien Barral. TD/TP : Jiaping Wang.
Crédits 4 ECTS
Horaires 15h de cours + 12h de TD + 15h de TP
ValidationContrôle continu et examen.

Présentation

Ce cours se veut être une introduction à l’analyse de Fourier comme outil de traitement de l’information contenue dans des signaux comme les images, les signaux sonores, les ondes gravitationnelles, ou encore les séquences d’ADN. Cet outil met en jeu les concepts de transformée de Fourier, de reconstruction et d’approximation d’un signal, qui ont contribué de façon essentielle à la révolution qu’a constitué la découverte des ondelettes, le développement de leur théorie, et leur mise en oeuvre dans les applications. Les points qui pourront être abordés dans ce cours sont les suivants :

  • Fourier et la résolution de l’équation de la chaleur. Propriétés élémentaires et moins élémentaires.
    • des fonctions intégrables et de leur séries de Fourier. Le phénomène de Gibbs. Applications directes des séries de Fourier en géométrie et en dynamique.
  • La transformée de Fourier de fonctions et de mesures. Formule sommatoire de Poisson.
  • Théorème d’échantillonnage de Shannon. Transformée de Fourier rapide. Principe d’incertitude de Heisenberg.
  • De la transformée de Fourier à fenêtre glissante à la transformée en ondelettes continue.
  • La transformée en ondelettes discrète. Analyses multi-résolution. Construction et propriétés des ondelettes. Ondelettes à support compact.
  • Applications : détection de contours, débruitage, compression. Détection d’ondes gravitationnelles.