Mes recherches portent sur les marches aléatoires sur les arbres aléatoires.

Les arbres aléatoires considérés sont des arbres de Galton-Watson, parfois munis de longueurs d'arêtes ou de poids sur les arêtes.

Thèse de doctorat : Marches aléatoires sur les arbres aléatoires

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Vous pouvez aussi voir le support de présentation (pdf 3,4Mo).

Cette thèse a été soutenue le devant le jury :

s'appuyant sur un rapport de Nina Gantert.

Invariant measures, Hausdorff dimension and dimension drop of some harmonic measures on Galton-Watson trees

Article (pdf 595Ko) paru dans Electronic Journal of Probability, volume 23 (2018).

On y étudie des marches aléatoires transientes sur un arbre de Galton-Watson. Le but est de calculer des dimensions de mesures harmoniques et de prouver un phénomène de chute de dimension pour ces mesures. Les marches aléatoires étudiées sont la marche λ-biaisée transiente et un modèle que nous avons appelé marche aléatoire sur un arbre de Galton-Watson à longueurs récursives, qui généralise un modèle étudié par Nicolas Curien et Jean-François Le Gall.

Finalement, les formules obtenues sont assez explicites, bien que dépendant de la loi de la conductance de l'arbre, variable encore peu comprise. Une autre chose qui s'est étonnamment bien passé est qu'il n'y a vraiment pas eu besoin de faire beaucoup d'hypothèses sur les modèles.

Ces résultats sont repris dans ma thèse (chapitres 3 et 4) avec quelques modestes améliorations et petits résultats annexes. La théorie sous-jacente, inventée par Lyons, Pemantle et Peres, est présentée (de façon un peu personnelle) dans le chapitre 2 de ma thèse.

Dimension drop for transient random walks on Galton-Watson trees in random environments

Pré-publication (pdf 255Ko).

On s'intéresse encore à la mesure harmonique mais cette fois dans le cadre d'arbres pondérés aléatoires transients. C'est un modèle inventé par Lyons et Pemantle en 1992, où l'arbre et les poids de transitions sont tous les deux aléatoires. La question posée est s'il y a encore chute de dimension dans ce cas et la réponse est affirmative.

La technique (un peu magique) utilisée dans l'article précédent ne fonctionne pas ici. On construit une mesure invariante à l'aide des temps de régénérations de la marche et d'une tour de Rokhlin, en suivant une stratégie esquissée par (encore eux) Lyons, Pemantle et Peres.

Finalement, on obtient presque sans hypothèse la chute de dimension (et l'exacte dimensionnalité) de la mesure harmonique, mais les formules obtenues, bien qu'ayant le mérite d'exister, ne sont pas très explicites.

Cette pré-publication nécessite encore un peu de travail sur la forme et quelques améliorations sur le fond sont encore possibles. Il vaut mieux, avant une révision très prochaine, lire pour l'instant le chapitre 5 de ma thèse.

Conductance of a subdiffusive random weighted tree

Prépublication (pdf, 400ko).

Il s'agit encore du modèle de marche aléatoire sur un arbre pondéré aléatoire, mais cette fois dans un cas récurrent nul appelé sous-diffusif.

La conductance entre la racine et le niveau n de l'arbre tend vers 0, par récurrence du modèle.

On s'intéresse à la vitesse de décroissance de celle-ci et on cherche une loi des grands nombres. L'étude, presque entièrement analytique, révèle trois différents régimes, dont deux pour lesquels la vitesse de décroissance est plus importante que dans les autres modèles étudiés dans la littérature (Addario-Berry, Broutin, Lugosi et Chen, Hu, Lin). Dans tous les cas, la conductance renormalisée converge presque sûrement vers la limite de la martingale de Mandelbrot.