Introduction à l'analyse harmonique

Jacek Jendrej

Courriel: jendrej AT math.univ-paris13.fr

Dates et horaires

Université Paris Diderot, du 9 septembre au 18 octobre

les jeudis 10h45—12h45, bâtiment Sophie Germain, salle 2016

les vendredis 9h—11h (cours) et 11h—13h (TD), bâtiment Buffon, salle 127A

Examen

mercredi le 23 octobre, 12h45—15h45, bâtiment Halle aux farines, salle 478F

Présentation

L'objectif de ce cours est de présenter quelques résultats classiques de l'analyse harmonique. Nous insisterons sur les aspects de la théorie qui trouvent des applications dans l'étude des équations aux dérivées partielles (mais ces applications ne seront présentées que de manière rudimentaire).

Nous étudierons d'abord les séries de Fourier et les fonctions harmoniques sur le disque, ce qui permettra d'introduire certaines idées-clé dans un contexte familier. Ensuite, après quelques rappels sur la théorie des distributions et sur la transformation de Fourier, nous aborderons la théorie générale des intégrales singulières. Puis, nous étudierons la décomposition de Littlewood-Paley et quelques applications. Enfin, nous examinerons certaines propriétés des restrictions des transformées de Fourier à des hypersurfaces.

Contenu

• Fonctions harmoniques et transformée de Hilbert sur le disque, convergence des séries de Fourier
• Rappels sur la théorie des distributions et sur la transformation de Fourier
• Théorie de Calderón-Zygmund des intégrales singulières
• Théorie de Littlewood-Paley
• Intégrales oscillantes, théorème de Tomas-Stein, inégalités de Strichartz (si le temps le permet)

Prérequis

Bibliographie

• Muscalu, Camil & Schlag, Wilhelm, Classical and Multilinear Harmonic Analysis, Vol. 1. Cambridge University Press, 2013.
• Stein, Elias & Weiss, Guido, Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces. Princeton University Press, 1971.
• Stein, Elias, Singular Intergrals and Differentiability Properties of Functions. Princeton University Press, 1970.
• Grafakos, Loukas, Classical Fourier Analysis, 2nd Edition. Springer, 2008.

Notes de cours

Feuilles d'exercices

Les numéros correspondent aux numéros des exercices dans le poly:

• Le 24 septembre on discutera des exercices du Chapitre 2. Omettez s'il vous plaît l'exercice qui demande de démontrer le Corollaire 2.48, car on n'a pas encore parlé des distributions. Tous les autres exercices devraient être abordables, mais certains sont assez difficiles. Voici une solution de l'exercice 2.3.
• Les exercices 3.4, 3.5 et 3.6 sont assez importants.
• Le 4 octobre il y aura un "contrôle" pendant le TD, mais sans impact sur la note finale.
• Voici le sujet du contrôle, ainsi que des solutions possibles.
• Voici une solution de l'Exercice 3.5 (i) sur la convergence non tangentielle.
• J'ai rajouté des exercices dans les chapitres 4 et 5. Il serait utile de les regarder avant le dernier TD. Je pense que le mieux est de les aborder dans l'ordre: 4.1, 4.2, 4.3, 5.1, 5.2, 5.3. Avertissement: 5.2 peut être difficile et 5.3 un peu long.

Dernière modification : 11/10/2019