Première
partie (Groupes de Grothendieck--Teichmüller) :
Après un premier d'introduction (1er
octobre), il y aura un exposé de rappels sur les notions algébriques
(module complet, algèbre enveloppante, formule de
Baker--Campbell--Hausdorff et completion prounipotente). En
novembre-décembre, nous pourrons ainsi d'étudier les définitions des
deux groupes prounipotents GT et GRT comme les groupes d'automorphismes
de deux opérades en groupoïdes : tresses parenthésées et diagrammes de
cordes parenthésés. La notion d'associateur n'est rien d'autre qu'un
morphisme d'opérades entre ces deux dernières.
Seconde
partie (Homologie des graphes) :
Après l'exposé
d'introduction (25 mars), la seconde partie du groupe de travail portera
sur l'homologie des graphes. Nous commencerons par étudier le théorème
de Loday--Quillen--Tsygan puis le théorème similaire dû à Kontsevich
ainsi que la généralisation de ce dernier aux opérades cycliques
apportée par Conant--Vogtmann. Dans un second temps, nous nous
pencherons sur la procédure de torsion des opérades de Willwacher, que
nous appliquerons à l'opérade des graphes qui code les opérations
naturelles agissant sur la totalisation des opérades cycliques. Ceci
fournira un bon modèle différentiel gradué de l'opérade des petits
disques qui permet de montrer sa formalité. Nous concluerons avec les
théorèmes de Willwacher portant sur l'homologie des graphes et l'algèbre
de Lie de Grothendieck--Teichmüller.
Première partie (Groupes de Grothendieck--Teichmüller) : Nous allons principalement suivre l'article de survol de Merkulov. Le premier exposé portera sur la section 2 avec pour but principal de présenter la completion prounipotente ou de Malcev (définition, exemples, méthode de Quillen) avec un passage "obligé" par les algèbres de Lie, la formule BCH et l'algèbre enveloppante.
Le but du second exposé (12 novembre) sera de donner des examples d'opérades dans des catégories symétriques monoïdales "exotiques" (algèbre de Lie avec la somme directe (produit), cogèbres coassociative avec le produit tensoriel) et d'illustrer le fait que les structures d'opérades sont préservées par les foncteurs monoidaux, notamment celui de l'algèbre enveloppante ou ceux de l'homotopie rationnelle. Typiquement ici, on regardera les images d'opérades topologiques pointées par le foncteur du groupe fondamentale ou de l'algèbre de Lie de Magnus ou d'holonomie. Le but est de se faire la main avant de passer aux opérades en groupoïdes.
L'exposé du 26 novembre couvrira l'opérade PaB des tresses parenthésées que l'on obtiendra à partir des espaces de configurations de points dans le plan via le groupoïde fondamental cette fois. On donnera une présentation par générateurs et relations de cette opérade en groupoïde et on définira le groupe GT comme son groupe d'automorphismes. Ceci permettra de retrouver la définition originelle de Drinfeld.
L'exposé du 10 décembre sera assez similaire : il couvrira l'opérade PaCD des diagrammes de cordes parenthésés que l'on obtiendra à partir de l'algèbre de Lie d'holonomie des espaces de configurations de points dans le plan. On donnera une présentation par générateurs et relations de cette opérades en algèbres de Lie et on définira le groupe GRT comme son groupe d'automorphismes. Enfin la notion d'associateurs de Drinfeld ne sera "rien d'autre" qu'un morphisme d'opérade PaB ---> PaCD. Ceci permettra de retrouver les définitions originelles de Drinfeld.
Seconde
partie (Homologie des graphes) :
Le
but du premier exposé sera de présenter les différentes étapes de la
démonstration du théorème de Loday--Quillen--Tsygan qui calcule
l'homologie de Chevalley--Eilenberg de l'algèbre de Lie des matrices de
taille infinie à coefficients dans une algèbre associative unitaire en
fonction de l'homologie cyclique de cette dernière. On pourra suivre les
sections 10.1 (homologie de Chevalley--Eilenberg des algèrbes de Lie) et
10.2 (démontrastion du théorème en 4 étapes) du livre de Jean-Louis
Loday "Cyclic Homology". (Le résultat essentiel de la théorie des
invariants est rappelé au chapitre 9).
Dans le deuxième exposé, on
détaillera le théorème de Kontsevich qui calcule l'homologie de
Chevalley--Eilenberg de l'algèbre de Lie des champs de vecteurs
symplectiques polynomiaux sur R^infinie en fonction de l'homologie de
certains complexes de graphes commutatifs; Kontsevich introduit deux
autres formes de ce théorème. Ces trois formes sont en fait des
applications aux trois grâces (Com, Ass, Lie) d'un résutlat général dû à
Conant--Vogtmann pour toute opérade cyclique. On suivra plutôt l'article
de ces deux derniers auteurs (uniquement la section 2).
Le troisième exposé couvrira la
procédure de torsion des opérades due à Thomas Willwacher. Cette
construction associe naturellement une nouvelle opérade à partir d'une
opérade sur celle des algèbres de Lie (ou de Lie à homotopie près).
L'intérêt principal de cette théorie est qu'elle fournit intrinséquement
une action par dérivation de l'algèbre de déformation de ce morphisme
sur l'opérade "tordue". Pour un traitement rapide, on pourra suivre le
Chapitre 4 de "Twisting procedure".
Le quatrième exposé introduira deux
opérades de graphes dues à Kontsevich. La première est l'opérade formées
de toute les opérades naturelles agissant sur la totalisation d'une
opérade cyclique et la seconde est obtenue à partir de cette dernière
par la procédure de torsion de Willwacher. Cette seconde opérade joue un
rôle crucial dans la démonstration de la formalité de l'opérade des
petits disques de Kontsevich--Lambrechts--Volic. Pour présenter cela, on
pourra se référer à la section 3 de l'article de Willwacher, à la
section 1.7 de l'article de Najib, à la section 7.5 de "Twisting
procedure" et ensuite à la monographie de Lambrechts--Volic.
Le dernier exposé montrera, d'après
Thomas Willwacher, que l'algèbre de Lie sur le groupe d'homologie de
degré 0 du complexe de graphes de Kontsevich est isomorphe à l'algèbre
de Lie de Grothendieck--Teichmüller et que cette dernière correspond
essentiellement aux derivations homotopiques de (la Q-completion)
l'opérade des petits disques. On se référera principalement à l'articlde
de Thomas Willwacher pour présenter cela. L'exposé au séminaire Bourbaki
donné par Kontsevich sur le sujet pourra aider (dernière section).
Pour la suite (2021), les portes sont grandes ouvertes :
Thank you Danica for the notes!