Topologie 3

Vorlesung (Wintersemester 2005/2006)

Dozent : Ch. Ausoni (zur home page).

Dienstags und donnerstags 8-10 ct, SR A (Beringstraße 4).
Die erste Vorlesung findet am 18.10.2005 statt.

Inhalt

Kohomologiegruppen sind eine Homotopieinvariante von topologischen Räumen. Das Ziel dieser Vorlesung ist es, die algebraische Struktur von Kohomologiegruppen zu verfeinern und geometrische Anwendungen zu diskutieren.

Allgemein bilden Kohomologiegruppen einen graduierten Ring unter dem Cup-Produkt, aber in verschiedenen Fällen ist viel mehr Struktur vorhanden, die nützliche Information enthält. Wir werden zuerst zwei wichtige Beispiele betrachten : Poincaré-Dualität für Mannigfaltigkeiten und die Hopf-Algebrastruktur für Hopf-Räume.

Danach werden wir die Steenrod-Algebra einführen. Das ist eine ziemlich komplizierte Algebra, die auf natürliche Weise auf der Kohomologie (mit endlichen Koeffizienten) von beliebigen Räumen operiert. Wir werden die Struktur der Steenrod-Algebra studieren und verschiedene Anwendungen betrachten.

Die Hauptthemen sind :

Poincaré-Dualität,
Hopf-Räume und Hopf-Algebren,
Die Steenrod-Algebra und einige Anwendungen.

Voraussetzungen :
Topologie 1 und Topologie 2 oder Grundkenntnisse wie zum Beispiel Homotopiegruppen, Homologie- und Kohomologiegruppen, Überlagerungstheorie und CW-Komplexe.

Übungen

Mittwochs 14-16 ct, SR E (Beringstraße 1).

1. Übungsblatt, 21.10.05 (dvi, pdf).
2. Übungsblatt, 28.10.05 (dvi, pdf).
3. Übungsblatt, 03.11.05 (dvi, pdf).
4. Übungsblatt, 10.11.05 (dvi, pdf).
5. Übungsblatt, 17.11.05 (dvi, pdf).
6. Übungsblatt, 24.11.05 (dvi, pdf).
7. Übungsblatt, 01.12.05 (dvi, pdf).
8. Übungsblatt, 08.12.05 (dvi, pdf).
9. Übungsblatt, 15.12.05 (dvi, pdf).
10. Übungsblatt, 22.12.05 (dvi, pdf).
11. Übungsblatt, 12.01.06 (dvi, pdf).
12. Übungsblatt, 19.01.06 (dvi, pdf).
13. Übungsblatt, 26.01.06 (dvi, pdf).

Seminar

K-Theorie, Prof. Dr. C.-F. Bödigheimer und Dr. E. Markert.
Freitags 14-16 ct, SR E (Beringstraße 1).
Beginn : Freitag, 28.10.2005

Literatur

G. E. Bredon, Topology and Geometry,
Graduate Texts in Mathematics 139, Springer, 1993 MR1224675.
D. B. A. Epstein and N. E. Steenrod, Cohomology Operations,
Annals of Math. Studies No 50, 1962 MR0145525.
A. Hatcher, Algebraic Topology,
Cambridge University Press, 2002 MR1867354.
Verfügbar auf Allen Hatchers home page.
J. Milnor, The Steenrod algebra and its dual,
Ann. of Math. (2) 67 1958 150--171 MR0099653.
E. Spanier, Algebraic Topology
McGraw-Hill Book Co. 1966 MR0210112.