Homotopie IIMaster 2 — 2025/2026Les cours sont assurés par Grégory
Ginot et les TDs par Nicolas
Guès. Le cours a lieu le lundi
de 10h45 à 1éh45, et après-midi 14h-16h et
mercredi 16h15, 18h15 les TDs le mercredi
14h-16h. Examen le lundi 16 février matin 7C Halle aux Farines, UPC UPC. Les notes de cours et TDs sont autorisées. penser à Ramener votre Devoir Maison noté.PrésentationL'objectif de ce cours est d'introduire la théorie de l'homotopie moderne, ses outils et ses applications. Nous nous intéresserons particulièrement à deux exemples : les complexes de chaînes (cf. les cours d'algèbre homologique et de topologie algébrique) et les espaces topologiques. Nous présenterons les catégories de modèles de Quillen, et nous expliquerons l'équivalence entre les espaces topologiques et les ensembles simpliciaux et revisiteront les résultats d'algèbre homologique dans ce cadre. ContenuContenu
PrérequisIl est recommandé d'avoir suivi les cours Homologie et Homotopie I. Il sera notamment utile d'avoir une certaine familiarité avec le langage catégorique et les notions de base en topologie algébrique et en algèbre homologique. Pour des rappels de topologie algébrique et algèbre homologique, on pourra consulter le polycopié suivant. Pour les rappels de topologie algébrique et différentielle, on
pourra aussi consulter le site : Bibliographie
Dernière modification : Grégory Ginot, 21 février 2025 |
Progression du cours Le matériel présenté dans le cours sera en très grande partie
contenu dans les notes suivantes : Nous avons donné la définition d'une catégorie de modèles et essayé de commenter les différents axiomes (en lien avec les exemples de toplogie et algèbre homologique) et le théorème établissant que 2 des classes parmi les 3 dans une catégorie de modèle déterminent les autres, les notions d'objets (co)fibrants et remplacements (co)fibrants. Enfin on a évoqué des exemples. Cf le chapitre 2.1 des notes de cours. Dans les troisième et quatrième cours nous avons donné les exemples fondamentaux des catégories de modèles de Quillen et Strom (sur les espaces topologiques) et de Kan sur les ensembles simpliciaux. Puis nous avons abordé la notion de localisation (de Gabriel-Zisman) C[W^{-1}] d'une catégorie par rapport à une classe de morphismes, aussi appelée catégroei homotopique Ho(C) de C. nous avons discuté la problématique associée. Puis nous avons détailé la catégorie homotopique d'une catégorie de modèle (section 2.2 des notes de cours de 2019) et les 3 notions d'homotopie associées (à gauche, droite, notamment). En particulier, il faut retenir le théorème identifiant Ho(C) avec le quotient de la catégorie des objets bifibrants par l'équivalence d'homotopie (qui s'identifient avec left and right homotopie dans ce cadre). Enfin il faut retenir la formule calculant les morphismes dans Ho(C) en termes de remplacement (co)fibrants. On a vu le théorème de Whitehead dans le cadre d'une catégorie de modèle quelconque ainsi que le lemme de Brown. Dans les cinquième et sixième cours nous avons fini la partie sur le calcul des morphismes dans la catégorie homotopique d'une catégorie de modèles, puis vu les notions de foncteurs de Quillen, de foncteurs dérivés et le fait qu'ils induisent des foncteurs entre catégories homotopiques. En particulier nousa vons vu les notions d'adjonction de Quillen, d'équivalence de Quillen. Enfin nous avons commencé à parler de limites et colimites homotopiques (aussi appelées dérivées) via le besoin de définir des structures de modèle sur les catégories de diagramme de sorte que les foncteurs de (co)limite puissent être dérivés. Il est important de bien reprendre les exemples des complexes de chaines, de la structure de Quillen sur Top et des ensemble ssimpliciaux (ainsi que les adjontions entre ces derniers). Ces parties sont détaillées dans les sections 2.2, 2.5 et 2.6 des notes de cours. Dans le sixième cours et septième cours nous avons vu l'existence des pushouts homotpiques dans toute catégorie de modèle et la généralisation à toute catégorie directe de l'existence de la structure projective et caractérisation des structures projectives (cf notes de Horel, section 5) . Ainsi que la notion duale. Enfin, nous avons évoqué le cas des catégories très petites (notes de cours, section 2.6). Nous avons ensuite introduti l'importantissime notion de catégories de modèles cofibrement engendrées, les exemples de Top et Ch(R) et énoncé le théorème de caractérisation de leur existence (cf sections2.3 et 2.4 des notes). Dans les neuvième et dixième cours, nous avons étudié la notion de catégories de modèles cofibrement engendrées et les théorèmes de caractérisation de ces dernières. Ainsi que l'applciation à la description de leurs cofibrations. Puis nous avons étudié le théorème de transfert de structures de modèles le long d'une adjonction, vu les cas particulaiers de catégories d'objets simpliciaux ou de complexes de chaines (cf 5.2.3 et 5.2.4 dans les notes ) puis l'application (2.6.16) pour démontrer l'existence des colimites homotpiques (et de limites homotopiques dans le cas combinatoire), leur commutation avec les foncteurs dérivés (gauche ou droite selon les cas). Dans la fin du dixième cours et dans le onzième cours, nous avons étudié plus en déatail la structure de modèle standard (Quillen/Kan) des ensembles simpliciaux, son caractère cartésien fermé et en particulier les propriétés de son mapping space. nous avons introduit les groupes d'homotopie simpliciaux et leur caractérisation (cf 3.2 et 3.3, les sectiosn 3 et 5 des notes de Horel). Et enfin l'importantissime équivalence de Quillen entre sSet et Top. Dans le douzième cours, nous allons évoquer les infinies-catgéories et le lien avec structures de modèles Il est impératif de bien étudier/reprendre les exemples, exercices vus en TDs et en cours.
Pour vous entraîner. Examen de 2017-2018 et Rattrapage de 2018-2019 Examen de 2018-2019
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Ceux qui souhaitent se familiariser/réviser des notions d'algèbre homologique peuvent
consulter la page d'un ancien cours de M1 |
Progression des TDs
Lien vers les énoncés et corrigés des TDs.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% TDs des années précédentes
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