Homotopie IIMaster 2 — 2024/2025Les cours sont assurés par Grégory
Ginot et les TDs par Nicolas
Guès. Le cours a lieu le lundi
de 13h30 à 15h30, jeudi matin de 8h50 à 10h50 et
les TDs le mardi matin 8h30-10h30. Attention, lundi10
cours supplémentaire 10h-12h salle 266, bâtiment Olympe
de gouges, Paris -Cité. Examen le mardi 25 février, 14h - 17h, salle 0011 Sophie Germain, UPC.PrésentationL'objectif de ce cours est d'introduire la théorie de l'homotopie moderne, ses outils et ses applications. Nous nous intéresserons particulièrement à deux exemples : les complexes de chaînes (cf. les cours d'algèbre homologique et de topologie algébrique) et les espaces topologiques. Nous présenterons les catégories de modèles de Quillen, et nous expliquerons l'équivalence entre les espaces topologiques et les ensembles simpliciaux et revisiteront les résultats d'algèbre homologique dans ce cadre. ContenuContenu
PrérequisIl est recommandé d'avoir suivi les cours Homologie et Homotopie I. Il sera notamment utile d'avoir une certaine familiarité avec le langage catégorique et les notions de base en topologie algébrique et en algèbre homologique. Pour des rappels de topologie algébrique et algèbre homologique, on pourra consulter le polycopié suivant. Pour les rappels de topologie algébrique et différentielle, on
pourra aussi consulter le site : Bibliographie
Dernière modification : Grégory Ginot, 21 février 2025 |
Progression du cours Le matériel présenté dans le cours sera en très grande partie
contenu dans les notes suivantes : Le deuxième cours a vu discuté rapidement les prpriétés des fibres d'une fibration de Hurewicz et de Serre (inv. d'homotopie et d'homotopie fiable respectivement) puis les notions de cofibration. Nous avons donné la définition d'une catégorie de modèles et essayé de commenter les différents axiomes. Nous avons établi que 2 des classes parmi les 3 dans une catégorie de modèle déterminent les autres, les notions d'objets (co)fibrants et remplacements (co)fibrants. Enfin on a évoqué des exemples. Cf le chapitre 2 des notes de cours. Dans les troisième et quatrième cours nous avons discuté en détail la catégorie homotopique d'une catégorie de modèle (section 2.2 des notes de cours de 2019). En particulier, il faut retenir le théorème identifiant Ho(C) avec le quotient de la catégorie des objets bifibrants par l'équivalence d'homotopie (qui s'identifient avec left and right homotopie dans ce cadre). Enfin il faut retenir la formule calculant les morphismes dans Ho(C) en termes de remplacement (co)fibrants. On a vu le théorème de Whitehead dans le cadre d'une catégorie de modèle quelconque ainsi que le lemme de Brown. Dans le cinquième cours nous avons détaillé les catégories de modèles injectives et projectives dans les complexes non bornés, les complexes de cochaines positivement gradués, les complexes de chaines positivement gradués. Ainsi que les caractérisations (plus ou moins subtiles) des (co)fibrations dans ces catégories aini que le lien avec les résolutions injectives/projectives soit la partire 2.3 des notes jusqu'au lemme 2.3.9. Nous avons ensuite introduit les notions de foncteurs de Quillen (gauche et droite), adjonction de Quillen et la définition des foncteurs dérivés. Section 2.5 jusuq'à la proposition 2.5.13. On a essayé de donner une idée de ce que veulent dire ces notions par rapport à des foncteurs standards entre catégories abéliennes. Dans le sixième cours, nous avons introduit les notions de (co)limites homotopiques (aka as dérivées), vu comme foncteurs dérivés du foncteur (co)limite. En particulier, en pratique, on utilise des structures de modèles sur les catégories de diagramme. On a parlé des sructures projectives, injctives et du cas agréable des très petites catégories. On pourra consulter le chapitre correspondant dans les noes de 2019 et celles de G. Horel. On a donné des résultsts dans Top et Ch(R) Dans le septième cours, nous avons commencé à parler de catégories de modèles cofibrement engendrées en faisant la remarque que les fibrations dans la structure de Quillen sur Top sont définies comme ayant la RLP par rapport à un ensemble de famille de "cofibrations acylciques" très simples. On a énoncé un résultat analogue pour la structure projective sur les complexes de chaînes (cf proposition 2.3.16 des notes). Nous avons énoncé les notions de morphismes I-cellulaires relatifs, Objets Kappa sésuentiel/compact et donné la définition d'une catégorie de modèle cofibrement engendrée. Dans les huitième et neuvième cours, nous avons donné le théorème caractérisant une cat. de modèle cofibrement engendrée à partir de la donnée des cofibrations génératrices et cofibrations acycliques génératrices ainsi que le théorème 5.312 des notes de cours (cf Theorem. 2.11 des notes de Horel aussi). On a donné des exemples et la preuve de l'existence de la structure projective sur les catégories de diagramme dans le cas projectif. Enfin on a donné la structure de modèle des ensembles simpliciaux et la notion de Mapping space (et sa version dérivée) dans sSet Le dixième cours a poursuivi l'étude de la structure de mod-le des ensembles simpliciaux, ses groupes d'homotopie et l'équivalence de Quillen avec Top. Puis on a obordé la notion générale de catégorie de modèle simpliciale et l'équivalence de Dold Kan (et de Quillen) entre complexe de chaines (positivement gradués) et groupe abélien simpliciaux. Voir les parties 3.3, le théorème 3.4.4 et l'important lemme 3.2.17 des notes de 2019. Ainsi que 4.4.26 à 4.4.35 (ou 3.33 à 3.41 dans le snotes de G. Horel ainsi que la section 2.3 sur les ensembles simpliciaux). Dans le onzième cours, nous avons fait un lien entre catégories de modèles et infinies catégories. Présiément, nous avons étudié ces dernières via les catégories simplicialement enrichies et la structure de modèle de Dwyer-Kan, dont les objets fibrants sont (un modèle pour) les infinies catégories. Puis nous avons parlé de loclaisation hammack d'une catégorie relative et expliquécomment les structures de modèles, adjonction de Quillen, foncteurs dérivés et (ho)colim se relèvent/traduisent au niveau de l'infinie catégorie localisant les équivalences faibles. On pourra consulter 4.1, 4.3 et 4.4 dans les notes de 2019 Dans le douzième cours, nous avons fait une introduction à la théorie des spectres (vu comme groupes abéliens à homotopie près et objets représentants le sthéories cohomologique sgénéralisés). Nous avons defini les localisations de Bousfield et en avons déduit la structure de moèdle sur le spré-spectres dont les objets fibrants sont lees spectres. On peut consulter.1, 4.2 et 4.3 dans les notes de G. Horel Les 2 derniers cours ne sont pas au programme de l'examen. Il est impératif de bien étudier/reprendre les exemples, exercices vus en TDs et en cours.
Pour vous entraîner. Examen de 2017-2018 et Rattrapage de 2018-2019 Examen de 2018-2019
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Ceux qui souhaitent se familiariser/réviser des notions d'algèbre homologique peuvent
consulter la page d'un ancien cours de M1 |
Progression des TDs
Lien vers les énoncés et corrigés des TDs.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% TDs des années précédentes
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