Homotopie IIMaster 2 — 2025/2026Les cours sont assurés par Grégory
Ginot et les TDs par Nicolas
Guès. Le cours a lieu le lundi
de 10h45 à 1éh45, et après-midi
14h-16h les TDs le mercredi 14h-16h.
Attention, cours seulement le matin le 19, mais TD à la
place l'après-midi. Pas de cours le le 26, mais TD
l'après-midi. Cours à la place du TD le mercredi 28. Examen le lundi 16 février matin 7C Halle aux Farines, UPC UPC.PrésentationL'objectif de ce cours est d'introduire la théorie de l'homotopie moderne, ses outils et ses applications. Nous nous intéresserons particulièrement à deux exemples : les complexes de chaînes (cf. les cours d'algèbre homologique et de topologie algébrique) et les espaces topologiques. Nous présenterons les catégories de modèles de Quillen, et nous expliquerons l'équivalence entre les espaces topologiques et les ensembles simpliciaux et revisiteront les résultats d'algèbre homologique dans ce cadre. ContenuContenu
PrérequisIl est recommandé d'avoir suivi les cours Homologie et Homotopie I. Il sera notamment utile d'avoir une certaine familiarité avec le langage catégorique et les notions de base en topologie algébrique et en algèbre homologique. Pour des rappels de topologie algébrique et algèbre homologique, on pourra consulter le polycopié suivant. Pour les rappels de topologie algébrique et différentielle, on
pourra aussi consulter le site : Bibliographie
Dernière modification : Grégory Ginot, 21 février 2025 |
Progression du cours Le matériel présenté dans le cours sera en très grande partie
contenu dans les notes suivantes : Nous avons donné la définition d'une catégorie de modèles et essayé de commenter les différents axiomes (en lien avec les exemples de toplogie et algèbre homologique) et le théorème établissant que 2 des classes parmi les 3 dans une catégorie de modèle déterminent les autres, les notions d'objets (co)fibrants et remplacements (co)fibrants. Enfin on a évoqué des exemples. Cf le chapitre 2.1 des notes de cours. Dans les troisième et quatrième cours nous avons donné les exemples fondamentaux des catégories de modèles de Quillen et Strom (sur les espaces topologiques) et de Kan sur les ensembles simpliciaux. Puis nous avons abordé la notion de localisation (de Gabriel-Zisman) C[W^{-1}] d'une catégorie par rapport à une classe de morphismes, aussi appelée catégroei homotopique Ho(C) de C. nous avons discuté la problématique associée. Puis nous avons détailé la catégorie homotopique d'une catégorie de modèle (section 2.2 des notes de cours de 2019) et les 3 notions d'homotopie associées (à gauche, droite, notamment). En particulier, il faut retenir le théorème identifiant Ho(C) avec le quotient de la catégorie des objets bifibrants par l'équivalence d'homotopie (qui s'identifient avec left and right homotopie dans ce cadre). Enfin il faut retenir la formule calculant les morphismes dans Ho(C) en termes de remplacement (co)fibrants. On a vu le théorème de Whitehead dans le cadre d'une catégorie de modèle quelconque ainsi que le lemme de Brown. Dans le cinquième cours nous avons Dans le sixième cours, nous avons Dans le septième et huitième cours, nous avons Dans les neuvième et dixième cours, nous avons Dans le onzième cours, nous avons Dans le douzième cours, nous avons Il est impératif de bien étudier/reprendre les exemples, exercices vus en TDs et en cours.
Pour vous entraîner. Examen de 2017-2018 et Rattrapage de 2018-2019 Examen de 2018-2019
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Ceux qui souhaitent se familiariser/réviser des notions d'algèbre homologique peuvent
consulter la page d'un ancien cours de M1 |
Progression des TDs
Lien vers les énoncés et corrigés des TDs.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% TDs des années précédentes
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