Introduction à l'Homotopie

Master 2 — 2018-2019

Les cours sont assurés par Grégory Ginot  et les TDs par Hugo Pourcelot
Sur cette page on trouvera des feuilles d'exercices et des corrigés (non-détaillés en général).

 Le cours a lieu le mardi de 14h00 à 17h15,  avec une pause de 15 minutes au milieu en salle G008. Les TDs de 17h30 à 19h00.

Examen le 13 Mars en salle F003/F004 de 14h à 17h. (les notes de cours et de TDs sont autorisés)

Pour venir à Paris 13, et plus précisément à son institut Galilée où ont lieu les cours,  consulter la page (décrivant l'accès au laboratoire, le bâtiment C est le premier bâtiment sur la droite quand on rentre par l'entrée 2 (en haut de la carte))  La salle F004 est au rez de chaussée du bâtiment numéroté 5 sur la carte ("en dessous" du bâtiment C sur la carte).  Le bâtiment C est le bâtiment en marron à côté du laga, celui ans laquelle la scolarité de l'institut Galilée, sur la carte suivante.
Pour vérifier la salle voir le Hyperplanning (Rechercher "M2 Mathematiques") ou la page du Master 2. Malheureusement, la salle changera souvent...



Présentation

Le but de ce cours est de donner une introduction à la théorie de l'homotopie moderne et à ses outils et applications, puis d'introdure la notion d'infinie catégorie. On suivra essentiellement deux exemples, celui, fondateur, des espaces topologiques et celui des complexes (au sens des cours d'algèbre homologique et topologie algébrique).
On présentera l'axiomatique moderne de l'homotopie, les catégories de modèles de Quillen, et on expliquera l'équivalence entre les espaces topologiques et les ensembles simpliciaux. On illustrera aussi ces méthodes via l'exemple de l'homotopie rationnelle pour montrer comment les structures multiplicatives des cochaines (singulières ou de De Rham) encodent les espaces à homotopie près.

Contenu

  • Groupes d'homotopie supérieures des espaces topologiques, fibrations de Serre, CW-complexes

  • Complexes de chaines, homotopie des complexes

  • Catégories de modèles

  • Foncteurs de Quillen et dérivés

  • Comparaison des ensembles simpliciaux et espaces topologiques

  • Homotopie rationnelle

  • Notion d'infinie-catégorie

Prérequis

Avoir suivi une introduction à la topologie algébrique (homologie singulière, simpliciale ou de De Rham, groupe fondamental) est fortement conseillée. Il pourra être utile d'avoir suivi un cours introductif d'algèbre homologique ou un sur les opérades ou l'algèbre homotopique. 

Pour des rappels de topologie algébrique et algèbre homologique, on pourra consulter le polycopié suivant

Pour les rappels de topologie algébrique et différentielle, on pourra aussi consulter le site :
Analysis Situs - Topologie algébriques des variétés différentielles  


Bibliographie

Dernière modification : Grégory Ginot, 12 novembre 2019

Progression du cours


Notes de cours  (Mises à jour le 08 novembre 2019).  Ces notes contiennent aussi une partie qui a été vue en cours (au prix d'une étude nettement moins poussée des catégories de modèles cofibrement engendrées et des (co)limites homotopiques) les années précédentes; à savoir celle sur l'homotopie rationnelle.

Le premier cours a porté sur des rappels des notions d'homotopie, rétractes par déformation, groupes d'homotopie supérieurs, suspension puis l'introduction de la notion clé: l'homotopie faible, et finalement une discussion informelle des catégories des espaces à homotopie près et à homotopie faible près On a précisé els relations entre homotopie et homotopie faible sur les CWs-complexes. On a également fait des rappels de base sur les notions de complexes de chaînes, de résoltuion projective et injective et la définition des groupes Tor et Ext, ainsi que la construction des foncteurs dérivés plus généraux..

Dans le deuxième cours, nous avons étudié les notions de fibrations de Serre et d'Hurewicz, leurs exemples fondamentaux et la suite eacte longue associée. Puis les notions de cofibrations (d'Hurewicz) et la définition du pushout homotopique. Nous avons ensuite donné la définition d'une catégorie de modèle, d'objets fibrants et cofibrants et essayé d'expliciter un minimum ce que veulent dire les axiomes et enfin énoncé deux exemples dans la catégorie des espaces topologiques.

Le troisième cours a porté sur l'étude des propriétés des fibrations, cofibrations et équivalences faibles dans les catégories de modèles, et l'étude des catégories homotopiques des structures de modèle. En particulier nous avons étudié en détail les notions de cyclindres, chemins et les notions d'homotopie associées, puis démontré que la catégorie homotopique s'obtient comme un quotient de la catégorie des obejts fibrants-cofibrants par la relation d'homotopie et donné le théorème de Whitehead. 

Le 4ème cours a été consacré à la structure de modèle (projective essentiellement) des complesxes da chaînes, dans le cas non-borné et le cas concentré en degré positif. On a étudié les propriétés des cofibrations et démontré les différents axiomes. Pour étudier l'axiome MC5, nous avons fait une digression-importante-consacrée à l'argument du petit objet qui et une méthode pour construire des factorisations fonctorielles par rapport à un ensemble de morphismes. 

Le 5ème cours a été consacré aux catégories de modèle cofibrement engendrées et à l'argument du petit objet et à la notion de foncteurs de Quillen.

Le 6ème cours a été consacré aux limites et colimites homotopiques via le point de vue des structures de modèle sur les diagrammes, puis à une introduction aux ensembles simpliciaux, leur comparaison avec les complexes simpliciaux et delta-complexes, l'adjonction induite par la rélaisation géométrique avec la catégorie des espaces topologiques.

Le 7ème cours a été consacré à la structure de modèle de Quillen sur les ensembles simpliciaux, en particulier les notions de fibration de Kan et les caractérisations des cofibrations ainsi que la notion de groupes d'homotopie simpliciaux et l'équivalence de Quillen avec la catégorie des espaces topologiques (munie des fibrations de Serre et équivalences d'homotopie faibles). Nousa vons brièvement indiqué une application des structures de modèle à l'homotopie rationnelle (résuamnt ainsi tout un long chapître du polycopié).

Le 8ème cours a été consacré à la notion d'infinie-catégorie. Après avoir discuté du nerf d'une catégorie et d'un groupoide et de leurs caractérisations parmi les ensembles simpliciaux, nous avons donné la définition des quasi-catégories et de leur (1-)catégorie homotopique sous-jacente. Nous avons ensuite introduit la structure de modèle sur les ensembles simpliciaux dont les objets fibrants sont les quasi-catégories. Puis nous avons décrit une structure de modèle sur les catégories  enrichies dans les ensembles sipliciaux et l'équivalence de Quillen reliant ces deux catégories de modèles "encodant" l'infinie catégorie des infinie-catégories. Enfin nous avons discuté comment une catégorie de modèle donne canoniquement une infinie-catégorie relevant sa catégorie homotopique.



  Il est impératif de bien étudier/reprendre les exemples, exercices vus en TDs et en cours.

Devoir Maison à rendre pour le 12 février (il peut être fait à 3). 

Pour vous entraîner.

Examen de 2017-2018 et Rattrapage de 2018-2019 Examen de 2018-2019

 

Ceux qui souhaitent se familiariser/réviser des notions d'algèbre homologique peuvent consulter la page d'un ancien cours de M1
https://webusers.imj-prg.fr/~gregory.ginot/AT/index.html qui contient de nombreux exercices corrigés et des notes de cours éventuellement utiles.
Et on trouvera là des liens vers des exercices sur les revêtements et la (co)homologie.

Progression  des TDs