Le problème de Steklov consiste en l'étude des valeurs propres de l'opérateur de Dirichlet-vers-Neumann, qui agit sur les fonctions définies sur la frontière d'un domaine.

En dimension deux, lorsque la frontière du domaine est une courbe fermée lisse, le problème est complètement intégrable. Les valeurs propres sont alors proches des entiers (à une erreur superpolynomiale près). Au contraire, pour les domaines Lipschitz et lisses par morceaux, les angles influencent fortement le spectre.

Dans un travail en cours avec Jean Lagacé (KCL) et Leonid Parnovski (UCL), nous montrons une relation de réciprocité entre la régularité de la frontière (mesurée dans l'échelle des espaces de Sobolev) et la proximité des valeurs propres avec les entiers (mesurée par des propriétés de sommation à poids). Plus la frontière est régulière, plus les valeurs propres sont proches des entiers, d'une manière génériquement optimale.

Notre outil principal consiste en une transformation conforme qui ramène le problème à l'analyse d'un opérateur à poids sur le cercle, et l'étude des commutateurs entre les multiplicateurs de Fourier avec une singularité en zéro (la transformée de Hilbert, la racine du Laplacien) et des multiplicateurs en espace par des fonctions peu régulières.

Les pratiques agricoles créent des habitats spatialement hétérogènes qui influencent la survie, la dispersion et la diversité des espèces présentes. Compte tenu de la crise actuelle de la biodiversité et de la nécessité de subvenir aux besoins d'une population humaine croissante, il est essentiel de concevoir des stratégies de gestion agricole qui concilient les objectifs de rendement et de conservation. 

Dans ce travail, nous introduisons un modèle de métacommunauté qui représente la dynamique écologique de plusieurs espèces en compétition dans une zone agricole. Nous partons d’un processus stochastique à valeur mesure qui décrit la dynamique de métacommunauté sur un réseau aléatoire formé par un nombre fini de patchs, uniformément repartis dans le paysage agricole. Celui-ci converge vers l’unique solution d’un système d’équations intégro-différentielles, lorsque le nombre de patchs tend vers l’infini. Dans le cas où la métacommunauté ne contient que deux espèces, nous étudions le comportement en temps long du modèle déterministe afin de déterminer quelles espèces parviennent à survivre. Enfin, nous procédons à une étude par simulations pour explorer les possibilités de réconciliation des objectifs de rendement et biodiversité. 

Travail en collaboration avec Nicolas Loeuille (iEES, Sorbonne Université) et Manon Costa (IMT).

In this talk, we study how taking complements of embeddings can be done in this setting. It turns out that Goodwillie calculus provides the natural setting for complements in embedding calculus. As an application, we show that the Milnor invariants of string links factor through the embedding tower for string links.