On considère la marche aléatoire de l'éléphant sur Z dans le cas superdiffusif et on s'intéresse à la distribution limite renormalisée, qui est non-gaussienne. On donne le comportement asymptotique exact de la densité de cette distribution aux deux infinis, à l'aide d'une étude algébrique de la fonction génératrice des moments et d'un théorème taubérien fort. Dans le cas complètement asymétrique, on montre que la densité est unimodale et, dans certains cas, log-concave. Travail en collaboration avec Hélène Guérin (Montréal), Lucile Laulin (Nanterre) et Kilian Raschel (Angers).

Je parlerai de la construction de couplages croissants pour des modèles d'arbres aléatoires, dans le style de Luczak et Winkler ; c'est-à-dire dans lesquels les sommets sont ajoutés un par un, en s'assurant qu'à chaque étape l'arbre obtenu a la distribution voulue.

Je présenterai notamment le résultat suivant : étant donnée une loi de reproduction log-concave, la suite correspondante d'arbres de Bienaymé--Galton--Watson conditionnés à avoir n sommets admet une réalisation sous la forme d'un processus markovien (T_n, n?1) qui ajoute une nouvelle feuille "sur la droite" à chaque étape.

Si le temps le permet, je discuterai d'une application à la construction de couplages croissants pour un modèle inhomogène de sous-arbres de l'arbre d'Ulam--Harris

Dans un travail en commun avec Dragos Fratila et Alberto Vezzani, nous construisons des courbes hyperelliptiques de genre grand, définies sur des corps quadratiques qui sont isomorphes à leur conjuguées galoisiens mais qui ne descendent pas sur Q. L’obstruction à la descente est nouvelle et nous l’appelons « périodes ramifiées ». Il s’agit de nombres p-adiques qui proviennent de la comparaison entre cohomologie de de Rham et cohomologie cristalline (d’où le mot périodes). Ces nombres peuvent lire des informations intéressantes si p ramifie dans le corps quadratique.