We will consider the intersections between the ranges of two independent branching random walks on Z^8, and discuss two results that are analogous to the results by Lawler from the '90s about two independent simple random walks on Z^4. We also show a weak law of large numbers for the branching capacity of the range of a branching random walk. Based on https://arxiv.org/abs/2410.13834.

Puis nous énonçons une loi des grands nombres faisant intervenir des ponts de Bessel de dimension 4, comme conjecturé dans le cas discret et
démontré dans leur modèle par Y.Hu, B.Mallein et M.Pain. Cette loi limite été obtenue par des moyens analytiques.
Enfin nous donnons une nouvelle construction de l’arbre de D-R continu à l’aide de l’arbre brownien: elle permet de mieux comprendre certains aspects
de l’arbre de D-R continu et notamment fournit une explication probabiliste à la loi limite faisant intervenir les ponts de Bessel de dimension 4.
Cette approche s'étend également aux cas sur-et sous-critiques de l'arbre de D-R continu.
Cet exposé s’appuie sur l’article de B. Derrida, T.D. et Z.Shi paru aux annales de IHP 2024 et sur un travail en cours avec E. Aïdékon, B. Derrida et Z. Shi.

Le système de particules de Keller Segel décrit N Browniens plantaires interagissant via une force attractive en 1/r, où r désigne la distance entre les particules. Une des difficultés et originalités principales de ce système est que les particules peuvent entrer en collision les unes avec les autres, pouvant rendre le drift mal définit.
L'existence pour ce système a déjà été montré jusqu'au temps de la première collision entre trois particules dans Fournier-Jourdain (2017), et dans un sens plus faible via la théorie des formes de Dirichlet dans Fournier-Tardy (2022), pour quasi toutes conditions initiales seulement.

Ce travail en cours explique comment étendre la décomposition introduite dans Fournier-Tardy (2022) en une théorie des excursions pour ce système de particules. Cette nouvelle compréhension du processus nous permet de définir une solution via une EDS généralisée invoquant des valeurs principales dans le drift et de prouver l'unicité en loi. D'autres conséquences de la décomposition seront présentés si le temps le permet.

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