L’arbre de Derrida-Retaux continu est la limite d’échelle (conjecturale)
du système de renormalisation hiérarchique de Derrida-Retaux discret.
Cette convergence a été prouvée pour un modèle proche exactement soluble
par Y.Hu, B.Mallein et M.Pain. L’arbre de D-R continu peut se voir comme un population de cellules évoluant selon un processus de croissance linéaire et de fragmentation uniforme, le paramètre de temps variant dans [0, 1[.
Nous donnons une première définition de l’arbre D-R continu.
Puis nous énonçons une loi des grands nombres faisant intervenir des
ponts de Bessel de dimension 4, comme conjecturé dans le cas discret et démontré dans leur modèle par Y.Hu, B.Mallein et M.Pain. Cette loi limite été obtenue par des moyens analytiques.
Enfin nous donnons une nouvelle construction de l’arbre de D-R continu à
l’aide de l’arbre brownien: elle permet de mieux comprendre certains
aspects de l’arbre de D-R continu et notamment fournit une explication
probabiliste à la loi limite faisant intervenir les ponts de Bessel de
dimension 4.
Cette approche s'étend également aux cas sur-et sous-critiques de l'arbre de D-R continu.
Cet exposé s’appuie sur l’article de B. Derrida, T.D. et Z.Shi paru aux
annales de IHP 2024 et sur un travail en cours avec E. Aïdékon, B.
Derrida et Z. Shi.
Résumé