Séminaire de l’équipe PS
Responsables : ELAD-ALTMAN Henri, TOURNIER Laurent
Mardi 10 février 2026
10:00 Meltem Ünel (LIPN) 
Résumé
Les arbres biaisés par la hauteur : quelques nouveaux résultats
Salle B405, bâtiment B, LAGA, Institut Galilée, Université Paris 13Étant donné un entier n et un réel mu, un arbre de
taille n biaisé par la hauteur est un arbre planaire aléatoire T_n à n sommets dont la loi est donnée à un facteur près par P(T_n = t ) = C e^{- mu
h(t)}, où t est un arbre fixe à n sommets, et h(t) est la hauteur
de t .
Dans cet exposé on va présenter quelques statistiques de
ces arbres quand mu=mu(n) est une suite à termes positifs dépendant
de n : la limite d’échelle quand mu(n) ~ 1/ \sqrt{n}, la hauteur
ainsi que le comportement autour de la racine quand 0 < mu(n) << n.
L’exposé est basé sur arXiv:2512.17747 en commun avec L. Addario-Berry, B. Corsini et N. Maitra.
11:20 Aurélien Velleret (Université d'Évry) Résumé
Dynamiques d'épidémies sur de grands graphes aléatoires et noyaux d'interaction
Salle B405, bâtiment B, LAGA, Institut Galilée, Université Paris 13La
prédiction de la propagation d'une épidémie au sein d'une population
repose en grande partie sur des modèles simplifiés, dans lesquels les
interactions sont représentées par des traits individuels. Ces traits
caractérisent l'hétérogénéité de la population, tels que l'âge ou la
profession des individus. Les méthodes d'échantillonnage habituelles
visent à fournir des estimations de la relation entre les traits et les
niveaux d'interaction, c'est-à-dire de la fonction définissant le noyau
d'interaction dans le modèle. J'inclus ici le cadre des modèles à blocs
stochastiques, avec un nombre fini de traits.
À
partir d'une description stochastique individu-centrée d'une épidémie
se propageant sur un graphe aléatoire, nous analyserons la dynamique
lorsque la taille $n$ du graphe tend vers l'infini. Quelle est la
généralité d'une telle réduction de modèle au-delà du cas des graphes
denses pour lesquels la notion de graphon (en tant que cas particulier
du noyau d'interaction) a été initialement proposée ?
Avec
un processus d'infection élémentaire entre individus, de type SIS, j'ai
pu retrouver à la limite une équation intégrale-différentielle en
dimension infinie étudiée par Delmas, Dronnier et Zitt (2022) pour une
épidémie SIS se propageant sur un graphon, cf Delmas et al. 2024. Cette
convergence couvre les cas des graphes denses et dilués, lorsque le
nombre d'arêtes est de l'ordre de $0(n^a)$ avec $a\in(1,2]$ (le cas des
graphes très dilués avec $a=1$ et des nombres bornés de voisins est de
nature différente). Cela fournit une validation pour l'évaluation
statistique actuelle, même si les individus sont généralement en contact
avec une portion réduite de la population totale.
Ces
résultats peuvent être étendus à des histoires d'infection plus
élaborées. Lorsque l'on considère des profils d'infectiosité qui varient
avec la durée depuis l'événement d'infection, j'ai pu retrouver à la
limite un processus structuré par l'âge qui étend la description
proposée par Forien, Pang et Pardoux (2022) pour un nombre fini de
traits individuels, cf Pardoux, Pang et Velleret (preprint). Je vous
présenterai notre approche associée aux méthodes de champ moyen en
propagation du chaos.
