En caractéristique positive, la torsion de Frobenius induit un endofoncteur de la catégorie des représentations polynomiales de GL(n). L'étude de son effet sur les groupes d'Ext a permis à Friedlander et Suslin de montrer que la cohomologie d'un schéma en groupe finie était finiment engendré.

Parshall et Wang ont montré qu'une version quantique de la torsion de Frobenius permet d'obtenir des représentations polynomiales du groupe générale linéaire quantique GLq(n) à partir de représentations polynomiales de GL(n), lorsque le paramètre q est une racine de l'unité. Il est donc naturel de se demander quel est son effet sur les groupes d'Ext. Pour l'étudier, je travaille dans une catégorie de foncteurs appelé foncteurs polynomiaux quantiques, définis par Hong et Yacobi, qui est une déformation de la catégorie des foncteurs strictement polynomiaux de Friedlander et Suslin.

Dans cette exposé, j'exposerai mes résultats sur le sujet, qui résolvent le problème dans un grand nombres de cas.

à venir

We will consider the intersections between the ranges of two independent branching random walks on Z^8, and discuss two results that are analogous to the results by Lawler from the '90s about two independent simple random walks on Z^4. We also show a weak law of large numbers for the branching capacity of the range of a branching random walk. Based on https://arxiv.org/abs/2410.13834.

Puis nous énonçons une loi des grands nombres faisant intervenir des ponts de Bessel de dimension 4, comme conjecturé dans le cas discret et
démontré dans leur modèle par Y.Hu, B.Mallein et M.Pain. Cette loi limite été obtenue par des moyens analytiques.
Enfin nous donnons une nouvelle construction de l’arbre de D-R continu à l’aide de l’arbre brownien: elle permet de mieux comprendre certains aspects
de l’arbre de D-R continu et notamment fournit une explication probabiliste à la loi limite faisant intervenir les ponts de Bessel de dimension 4.
Cette approche s'étend également aux cas sur-et sous-critiques de l'arbre de D-R continu.
Cet exposé s’appuie sur l’article de B. Derrida, T.D. et Z.Shi paru aux annales de IHP 2024 et sur un travail en cours avec E. Aïdékon, B. Derrida et Z. Shi.

Le système de particules de Keller Segel décrit N Browniens plantaires interagissant via une force attractive en 1/r, où r désigne la distance entre les particules. Une des difficultés et originalités principales de ce système est que les particules peuvent entrer en collision les unes avec les autres, pouvant rendre le drift mal définit.
L'existence pour ce système a déjà été montré jusqu'au temps de la première collision entre trois particules dans Fournier-Jourdain (2017), et dans un sens plus faible via la théorie des formes de Dirichlet dans Fournier-Tardy (2022), pour quasi toutes conditions initiales seulement.

Ce travail en cours explique comment étendre la décomposition introduite dans Fournier-Tardy (2022) en une théorie des excursions pour ce système de particules. Cette nouvelle compréhension du processus nous permet de définir une solution via une EDS généralisée invoquant des valeurs principales dans le drift et de prouver l'unicité en loi. D'autres conséquences de la décomposition seront présentés si le temps le permet.

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Consider a particle randomly moving in a bounded (planar) domain starting at any given point within. Assume it bounces against the boundary and consider $\Sigma$, a small part of that boundary. What is the expected time we need to wait before the particle hits $\Sigma$ ? This question is known as the narrow escape problem. We can also consider the related question : what is the probability that the particle hits $\Sigma$ before another given subset of the boundary $\Gamma$ ? In this talk, I will address these questions and give quantitative answers in the asymptotic regime where the lengths of the windows tend to 0. To tackle the problem, I will prove a Feynman-Kac formula, lincking the stochastic process studied with a deterministic PDE which has the form of a Poisson equation with mixed boundary conditions. Then, constructing appropriate quasimodes to this PDE, we are able to derive sharp asymptotics for the expected time and probabilities.

Quantum mechanics is well approximated by classical physics when Planck's constant is considered small, i.e., in the semi-classical limit. Typically, one can study an observable associated with a particle, such as its momentum or its position, and show that its dynamics is given by classical dynamics at first order, with corrections of the order of Planck's constant. In this talk, I will present more precisely the concept of semi-classical limits, the standard mathematical results known for non-relativistic quantum mechanics, and my work that concerns the semi-classical limit in the context of relativistic quantum mechanics. Concretely, I will show how to adapt the modulated energy method to the Klein-Gordon and Klein-Gordon-Maxwell equations and how to recover relativistic mechanics (instead of classical mechanics) at the semi-classical limit.