The Ray-Knight theorems establish a fundamental connection between Brownian local time and squared Bessel processes. Recently, Aïdékon–Hu–Shi extended this framework to an infinite-dimensional representation via stochastic flows, inheriting the spirit of the works of Bertoin–Le Gall and Dawson–Li. Building on their framework, we study a pair of coupled stochastic squared Bessel flows parametrised by $\delta\in (0,2)$ and construct a partition of the space-time plane $\mathbb{R}_+ \times  \mathbb{R}$. We prove that these partitions correspond to squared Bessel excursions with a negative parameter $-\delta$, which are naturally embedded within the jumps of a spectrally positive $(1+\delta/2)$ stable process. This connection further allows us to relate these structures to Björnberg–Curien–Stefánsson's shredded sphere, and to interval-partition evolutions introduced in a series of works by Forman–Pal–Rizzolo–Winkel.
Joint work with Elie Aïdékon (Fudan University) and Chengshi Wang (Fudan University).

Dans cet exposé, je présenterai quelques travaux en cours avec Nicolas Fournier et Laurent Mazet. Nous nous intéressons à des modèles simples décrivant le mouvement d'une particule dans un gaz. Une particule est alors représentée par un processus aléatoire décrivant sa position et sa vitesse et nous étudions le processus de position lorsque le taux de collision tend vers 0. Nous nous placerons dans le cas où l'équilibre (en vitesse) est à queue lourdes, et ne possède pas de moment d'ordre 2. Lorsque le processus de position n'est pas restreint à un domaine, et vit dans tout l'espace, il est assez clair que ce dernier converge en loi vers un processus $\alpha$-stable, lorsque le taux de collision tend vers 0. Nous étudions alors le cas où la particule est réfléchie dans un domaine convexe de la manière suivante : lorsqu'elle touche le bord du domaine, elle est “redémarrée” avec une vitesse dirigée vers l'intérieur du domaine, et distribuée selon une mesure de probabilité donnée. Nous montrons que la position de la particule converge en loi vers un processus $\alpha$-stable réfléchi dans le domaine. Après avoir introduit le modèle, j'expliquerai comment nous construisons le processus limite en “recollant” ses excursions, et si le temps le permet, je donnerai quelques éléments de preuve concernant la convergence en loi.

A préciser

We consider wave maps from the (1+d)-dimensional Minkowski space
into the d-sphere. Early numerical works by P. Bizo´n et al. on this model indi-
cate that in the supercritical case d ? 3, generic large data lead to finite time
blowup via certain explicitly known self-similar solution. In attempts to rigor-
ously confirm these observations, many results have been obtained over the past
two decades, beginning with the pioneering work of P. Aichelburg, R. Donninger
and B. Sch¨orkhuber. However, despite their groundbreaking nature, these works
establish stability results that are only local-in-space.
In this talk, we present a novel framework for studying spatially global stability
of self-similar solutions to semilinear wave equations. We apply this approach
to the wave maps setting described above, obtaining the first stability result that
is global-in-space, and thereby verifying the perturbative version of a conjecture
posed by P. Bizo´n and P. Biernat in 2015. At the and, we discuss further open
problems as well as the new mathematical challenges that our approach generates.

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