Puis nous énonçons une loi des grands nombres faisant intervenir des ponts de Bessel de dimension 4, comme conjecturé dans le cas discret et démontré dans leur modèle par Y.Hu, B.Mallein et M.Pain. Cette loi limite été obtenue par des moyens analytiques.
Enfin nous donnons une nouvelle construction de l’arbre de D-R continu à l’aide de l’arbre brownien: elle permet de mieux comprendre certains aspects de l’arbre de D-R continu et notamment fournit une explication probabiliste à la loi limite faisant intervenir les ponts de Bessel de dimension 4.
Cette approche s'étend également aux cas sur-et sous-critiques de l'arbre de D-R continu.
Cet exposé s’appuie sur l’article de B. Derrida, T.D. et Z.Shi paru aux annales de IHP 2024 et sur un travail en cours avec E. Aïdékon, B. Derrida et Z. Shi.

Le système de particules de Keller Segel décrit N Browniens planaires interagissant via une force attractive en 1/r, où r désigne la distance entre les particules. Une des difficultés et originalités principales de ce système est que les particules peuvent entrer en collision les unes avec les autres, pouvant rendre le drift mal défini.
L'existence pour ce système a déjà été montrée jusqu'au temps de la première collision entre trois particules dans Fournier-Jourdain (2017), et dans un sens plus faible via la théorie des formes de Dirichlet dans Fournier-Tardy (2022), pour quasi toutes conditions initiales seulement.

Ce travail en cours explique comment étendre la décomposition introduite dans Fournier-Tardy (2022) en une théorie des excursions pour ce système de particules. Cette nouvelle compréhension du processus nous permet de définir une solution via une EDS généralisée invoquant des valeurs principales dans le drift et de prouver l'unicité en loi. D'autres conséquences de la décomposition seront présentées si le temps le permet.

We prove eigenvalue asymptotics and concentration of eigenfunctions of the Laplace-Beltrami operator for certain singular Riemannian metrics. This is motivated by the study of propagation of soundwaves in gas planets. The talk is based on joint works with Yves Colin de Verdière, Maarten de Hoop and Emmanuel Trélat, and with Larry Read.

On s'attend généralement à ce que les développements des nombres réels ans des bases multiplicativement indépendantes, comme 2 et 10, ne partagent aucune structure commune. Il semble toutefois extraordinairement difficile de confirmer ce principe heuristique naïf d'une manière ou d'une autre. À la fin des années 1960, Furstenberg a proposé une série de conjectures, devenues célèbres, qui visent à formaliser cette heuristique. Le travail présenté dans cet exposé est motivé par l'une d'entre elles. Alors que les conjectures de Furstenberg s'inscrivent dans un cadre dynamique, j'utiliserai le langage des automates finis pour formuler certains problèmes exprimant, sous une forme différente, le même principe général. J'expliquerai ensuite comment ces derniers peuvent être résolus par une méthode transcendante. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Colin Faverjon.

Dans son papier fondateur de 1961, Wirsing étudie comment on peut approcher un nombre réel transcendant ? donné par des nombres algébriques ? de degré au plus n, en terme de leur hauteur naïve H(?). Il montre que l'exposant ?_n*(?) mesurant cette qualité d'approximation est au moins égal à (n + 1)/2. Il remarque aussi que rien ne suggère que cette estimation soit optimale, et qu'on pourrait même avoir toujours ?_n*(?) ? n (cette inégalité étant une égalité presque partout au sens de la mesure de Lebesgue). Depuis ses travaux, toutes les améliorations de la borne inférieure de Wirsing étaient de la forme n/2 + O(1), jusqu'à ce que Badziahin et Schleischitz prouvent en 2021 que ?_n*(?) ? an pour tout n ? 4, où a ? 0.577. Dans la première partie de cet exposé, nous nous attarderons sur cet historique et la preuve originelle de Wirsing. Nous présenterons ensuite les idées permettant d'obtenir, par une nouvelle approche, la borne ?_n*(?) ? an, où a ? 0.765.

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Consider a particle randomly moving in a bounded (planar) domain starting at any given point within. Assume it bounces against the boundary and consider $\Sigma$, a small part of that boundary. What is the expected time we need to wait before the particle hits $\Sigma$ ? This question is known as the narrow escape problem. We can also consider the related question : what is the probability that the particle hits $\Sigma$ before another given subset of the boundary $\Gamma$ ? In this talk, I will address these questions and give quantitative answers in the asymptotic regime where the lengths of the windows tend to 0. To tackle the problem, I will prove a Feynman-Kac formula, lincking the stochastic process studied with a deterministic PDE which has the form of a Poisson equation with mixed boundary conditions. Then, constructing appropriate quasimodes to this PDE, we are able to derive sharp asymptotics for the expected time and probabilities.

Quantum mechanics is well approximated by classical physics when Planck's constant is considered small, i.e., in the semi-classical limit. Typically, one can study an observable associated with a particle, such as its momentum or its position, and show that its dynamics is given by classical dynamics at first order, with corrections of the order of Planck's constant. In this talk, I will present more precisely the concept of semi-classical limits, the standard mathematical results known for non-relativistic quantum mechanics, and my work that concerns the semi-classical limit in the context of relativistic quantum mechanics. Concretely, I will show how to adapt the modulated energy method to the Klein-Gordon and Klein-Gordon-Maxwell equations and how to recover relativistic mechanics (instead of classical mechanics) at the semi-classical limit.