We consider an Ising model whose spins live on a random triangular lattice embedded in the plan. The model is annealed, i.e. the geometry of the lattice is coupled to the spin configuration. Like the classical Ising model, this model also have a phase transition at a unique critical temperature. I will describe this phase transition in terms of the free energy density as well as the geometry of spin clusters. The study of this phase transition leads to interesting questions about Markovian random walks and branching processes.

Si $x$ est un réel et si $(p_n/q_n)_n$ est la suite des fractions associées à $x$ par le développement en fraction continue, alors $1/2\leq q_{n+1}|p_n-q_nx|\leq 1$. En dimension supérieure, seule la majoration s'étend aux meilleures approximations diophantiennes simultanées. Nous mentionnerons des résultats anciens et récents liés aux généralisations de la majoration et à l'impossibilité d'étendre la minoration. L'un de ces résultats est l'objet d'un travail commun avec Yitwah Cheung.

A classical problem in algebraic geometry is to understand moduli which are "special" in the sense that the varieties they correspond to have additional algebraic structure not present at a general fibre. A method of André approaches this problem by studying the transcendence properties of certain period functions computed at the special moduli, and this allows one to bound the heights of these moduli. Unfortunately, however, the method is restricted by the lack of a suitable p-adic interpretation of the period functions.

We give an overview of this method. If time permits, we will describe work in progress to give a p-adic interpretation of these periods, removing the restriction.

Durant la thèse de doctorat, un étudiant acquiert des compétences professionnelles : lire un article, présenter des travaux, discuter de la portée des résultats, etc. La plupart du temps, cette maturité scientifique s'obtient par l'expérience, sur le tas, et parfois laborieusement. Nous proposons ici 10 règles simples et applicables pour aider les étudiants à aller plus loin dans leur travail de recherche.

Dans la première partie de cet exposé de thèse, on développera
une théorie dimensionnelle pour une certaine classe d'éponges
invariantes sous l'action d'un semigroupe d'entiers. Ceci généralise les
travaux de Kenyon, Peres et Solomyak, ces derniers ayant étudié le même
type d'ensemble en dimension 1. On établit en particulier pour calculer
la dimension de Hausdorff de ces objets de nouveaux principes
variationnels à l'aide d'une classe de mesures introduite par ces trois
auteurs. Ensuite, dans une deuxième partie, on présentera des résultats
concernant la théorie dimensionnelle de la classe des tapis de Baranski
aléatoires. Les tapis de Baranski sont des structures fractales qui
constituent une généralisation des tapis de Sierpinski, très bien connus
dans le cas déterministe depuis les travaux de Bedford, McMullen puis de
Kenyon et Peres. On s'intéressera donc aux dimensions de Hausdorff et de
Minkowski des tapis de Baranski aléatoires et de leurs projetés,
complétant entre autres des résultats de Lalley et Gatzouras (étude des
tapis de Sierpinski aléatoires) et de Barral et Feng (étude des éponges
de Sierpinski aléatoires).

Depuis l'exemple historique donné par Helge von Koch en 1904, de nombreuses
constructions d'ensembles fractals ont été proposées, à la fois dans un
cadre théorique et à des fins de modélisation, des plus élémentaires aux
plus sophistiqués, déterministes ou aléatoires. L'objet de cet exposé est
de présenter une telle famille de compacts du plan, obtenus comme limites
croissantes de suites d'ensembles simples construits par superpositions
successives de mosaïques de Voronoi. A l'aide d'une représentation de cette
dynamique par un processus de Galton-Watson multitype, nous donnerons
quelques caractéristiques géométriques de ces compacts limites ; en
particulier nous montrerons que leur frontière est fractale en donnant une