L’un des outils principaux de la théorie des systèmes dynamiques sont des mesures invariantes.

Dans le cadre de la dynamique aléatoire, ils sont remplacés par des mesures stationnaires,

c’est-à-dire, étant égales à la moyenne de leurs images aléatoires.

Dans notre travail récent avec A. Gorodetski et G. Monakov, nous montrons que

ces mesures presque toujours (sous des hypothèses très faibles) possède une

propriété hölderienne : la masse de toute boule est majorée par une puissance positive

de son rayon.

Dans la théorie des produits de matrices aléatoires, il est classique depuis des travaux de Lepage des années 80 que sous de faibles hypothèses, l'opérateur de transfert naturellement associé admet un trou spectral dans un espace bien choisi, et que beaucoup de conséquences s'en déduisent, en particulier sur les propriétés stochastiques des produits (par exemple un théorème central limite).

Avec Pablo Barrientos, nous montrons une propriété spectrale analogue en dynamique non linéaire, pour les systèmes dynamiques aléatoires sur le cercle, sous des hypothèses relativement minimales, et les conséquences qui en découlent. En fait la conclusion est plus généralement vraie pour les systèmes dynamiques aléatoires "essentiellement contractants", au sens où les exposants de Lyapunov associés à n'importe quelle mesure stationnaire sont strictement négatifs.