It is a truth universally acknowledged, that a local system on a connected topological manifold is completely determined by its attached monodromy representation of the fundamental group. Similarly, lisse ?-adic sheaves on a connected variety determine and are determined by representations of the profinite étale fundamental group. Now if one wants to classify constructible sheaves by representations in a similar manner, new invariants arise. In the topological category, this is the exit path category of Robert MacPherson (and its elaborations by David Treumann and Jacob Lurie), and since these paths do not ‘run around once’ but ‘run out’, we coined the term exodromy representation. In the algebraic category, we define a profinite ?-category – the étale fundamental ?-category – whose representations determine and are determined by constructible (étale) sheaves. We describe the étale fundamental ?-category and its connection to ramification theory, and we summarise joint work with Saul Glasman and Peter Haine.

On décrira un travail de Bourguiba, Lannes et Zarati (auquel l'orateur a modestement participé) qui a une action de 2-groupes abéliens élémentaires V sur un complexe fini X associe deux complexes, l'un géométrique l'aure algébrique. Si la cohomologie équivariante de de X est libre comme h^*V-module ces deux complexes sont exacts, constitués de modules instables et isomorphes. Ceci décrit la cohomologie relative de X modulo le lieu singulier comme un foncteur de la cohomologie équivariante de X. On considérera ensuite un cas particulier Hai, (Lannes, Hai, Nam, Schwartz travail antérieur et en cours) qui permet de donner une description "explicite" de certains spectres de Brown-Gitler.