A quoi ressemble une géodésique fermée générique sur une surface de grand genre ? Cela dépend de la longueur maximale L qu'on autorise: les géodésiques simples non-séparantes sont dominantes parmi les géodésiques relativement "courtes". Toutefois, dès que L dépasse un certain seuil, leur nombre devient négligeable devant les géodésiques non-simples. Nous donnerons les énoncés exacts et expliquerons ces résultats en détaillant le lien entre comptage des géodésiques en grand genre et développement asymptotique des volumes des espaces de modules.

L'espace des modules est l'espace des métriques hyperboliques sur une surface topologique donnée, à isométries près. Une fois équipé de la mesure de Weil-Petersson normalisée, cet espace devient probabilisé et les données géométriques des surfaces hyperboliques deviennent des variables aléatoires. Nous verrons au cours de cette présentation comment intégrer une classe de variables aléatoires dites géométriques, dont la définition fait intervenir les longueurs de géodésiques fermées. Nous verrons comment l'intégration de ces variables est liée au procédé de pseudo-convolution et nous exploiterons ce lien pour déterminer des estimations du nombre moyen de géodésiques de longueur et de topologie fixées.

Découvert en 1959, le théorème de Dye stipule qu'à identification mesurable près, toutes les bijections ergodiques préservant une mesure de probabilité (sans atomes sur un espace standard) induisent la même partition de l'espace en orbites. En 1969, de l'autre côté du rideau de fer, Belinskaya démontre qu'à l'inverse, si l'on demande que l'identification des orbites soit intégrable (en un sens que l'on précisera), alors les deux bijections sont conjuguées, quitte à éventuellement remplacer l'une par son inverse. Dans cet exposé, je présenterai le théorème de Belinskaya ainsi que quelques groupes polonais associés à de la dynamique mesurable, groupes dont l'étude est motivée par ce théorème. Il s'agit d'une part des groupes pleins L1, que j'ai définis et étudiés en 2018, et d'autre part les groupes pleins commensurants, qu'Antoine Derimay a étudiés lors de son stage de M2 sous ma direction en 2024.