There are a plethora of algorithms producing various continued
fraction (CF) expansions of real numbers—e.g., the regular, singular, nearest
integer, backward, optimal, and diagonal CFs.  In 1981, Nakada introduced a
one-parameter family of $\alpha$-CFs, which realize the regular, singular,
nearest integer and backward CFs for specific $\alpha\in [0,1]$.  Ten years
later, Kraaikamp introduced a family of $S$-expansions, which realize the
optimal, diagonal and $\alpha$-CFs—but only for $\alpha\in [1/2,1]$.  In this
talk, we introduce a new family—called contracted Farey expansions---which

Les algorithmes de fractions continues multidimensionnelles classiques
comme Jacobi-Perron ou Brun produisent des suites de matrices
unimodulaires à coefficients entiers positifs. Les familles
d’automorphismes du tore T^d associées sont ultimement Anosov, avec des
variétés stables et instables de dimension 1 ou codimension 1. En
associant à chaque matrice une substitution (ou un morphisme) de mots,
nous construisons des partitions de Markov non stationnaires dont les
atomes sont des suspensions de fractals de Rauzy S-adiques. Nous
discutons les conditions qui permettent cette construction (second
exposant de Lyapunov négatif, propriété de pavages des fractals de
Rauzy). La suite de substitutions définit également une cascade de
rotations sur le tore T^{d-1} avec un processus d’induction.
C’est un travail en commun avec Pierre Arnoux, Valérie Berthé, Milton
Minervino et Jörg Thuswaldner. https://arxiv.org/abs/2508.16441